Question

如图1，⊙O的半径为5，弦AB=8．
（1）求点O到AB的距离OM的长；
（2）P点是劣弧AB上的动点（与点A、B不重合），作?APBQ，如图2，求PQ的最小值；
（3）P点是优弧AB上的动点（与点A、B不重合），作?APBQ，如图3，求PQ的最大值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：计算题

分析：（1）连接OA，作OM⊥AB于M，如图1，根据垂径定理得AM=

1

2

AB=4，然后在Rt△OAM中，根据勾股定理计算OM=3；
（2）由于AM=BM，根据平行四边形的性质，M点为平行四边形APBQ的对角线的交点，则PM=MQ，所以当P点到M点的距离最小时，PQ最小，而P点为OM的延长线与⊙O的交点时，PM最小，如图2，易得PM=2，于是得到PQ的最小值为4；
（3）由于AM=BM，根据平行四边形的性质，M点为平行四边形APBQ的对角线的交点，则PM=MQ，所以当P点到M点的距离最大时，PQ最大，而P点为MO的延长线与⊙O的交点时，PM最大，如图3，易得PM=8，于是得到PQ的最大值为16．

解答：解：（1）连接OA，作OM⊥AB于M，如图1，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=

1

2

AB=

1

2

×8=4，
在Rt△OAM中，∵OA=5，AM=4，
∴OM=

OA2-AM2

=3，
即点O到AB的距离OM的长为3；
（2）∵四边形APBQ为平行四边形，
而AM=BM，
∴PM=MQ，
∴当P点到M点的距离最小时，PQ最小，
此时P点为OM的延长线与⊙O的交点，如图2，
∵OM=3，
∴PM=2，
∴PQ=2PM=4，
即PQ的最小值为4；
（3）∵四边形APBQ为平行四边形，
而AM=BM，
∴PM=MQ，
∴当P点到M点的距离最大时，PQ最大，
此时P点为MO的延长线与⊙O的交点，如图3，
∵OM=3，
∴PM=OM+OP=8，
∴PQ=2PM=16
即PQ的最大值为16．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和平行四边形的性质；会运用勾股定理计算线段的长．