Question

如图，D是等腰直角△ABC的直角边BC上一点，AD的垂直平分线EF分别交AC、AD、AB于E、M、F，BC=2．
（1）当CD=

2

时，求AE的长；
（2）当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是何种特殊的平行四边形？请证明你的结论，并求出CD的长．

Answer 1

考点：菱形的判定,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）设AE=x，则EC=2-x，ED=AE=x，在△ECD中，利用EC²+CD²=ED²列出有关x的方程求得AE的长即可；
（2）首先利用两组对角分别相等的四边形是平行四百那些证得四边形AEDF为平行四边形，然后证得对角线垂直，从而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可．

解答：解：（1）设AE=x，则EC=2-x，ED=AE=x，
在△ECD中，EC²+CD²=ED²，
即：（2-x）²+（

2

）²=x²，
解得：x=

3

2

．
（2）四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵：AD平分∠BAC，
∴△AFD为等腰三角形，AE=AF，
∵BAC=45°，
∴∠AEF=∠AFE=67.5°，
∵△AFD和△AED都是等腰三角形，
∴AFD=∠DFM，∠AEF=∠DEF，
∴AFD=135°，∠AED=135°，
∴EDF=45°，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵AD⊥EF，
∴四边形AEDF为菱形；
设CD=x，则BD=AE=2-x，ED=

2

x，
则

2

x=2-x，
解得：x=2

2

-2．

点评：本题考查了菱形的判定及勾股定理的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形，难点是判定菱形．