Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0）、B（0，3），动点P、Q同时从原点O出发，其中点P沿线段OA向终点A运动，速度为

3

单位/秒；点Q沿线段OB向终点B运动，速度为1单位/秒，当其中一个点到终点时另一个点也随之停止，设运动时间为t秒．当以PQ为直径的圆与线段AB有两个公共点时，t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题,解一元一次不等式组,勾股定理,直线与圆的位置关系,平行线分线段成比例,锐角三角函数的定义

专题：

分析：以PQ为直径作⊙M，过点M作MH⊥AB于H，过点Q作QD⊥AB于D，过点P作PC⊥AB于C，易得QD∥MH∥PC，MQ=MP．根据平行线分线段成比例得CH=DH，再根据梯形的中位线定理可得MH=

1

2

（QD+PC）．然后利用三角函数将DQ、PC用t的代数式表示，进而用t的代数式表示出MH，由⊙M与线段AB有两个公共点可得MH＜

1

2

PQ，从而得到t的一个范围，再由其中一个点到终点时另一个点也随之停止可得t的又一个取值范围，就可解决问题．

解答：解：以PQ为直径作⊙M，过点M作MH⊥AB于H，
过点Q作QD⊥AB于D，过点P作PC⊥AB于C，如图所示．
则有QD∥MH∥PC，MQ=MP．
根据平行线分线段成比例得：CH=DH．
由梯形中位线定理可得：MH=

1

2

（QD+PC）．
由题可得：OA=4，OB=3，OP=

3

t，OQ=t．
则有BQ=3-t，AP=4-

3

t．
∵∠AOB=90°，∴AB=5，PQ=

t2+3t2

=2t．
由sin∠OBA=

OA

AB

=

QD

BQ

得：QD=

4

5

（3-t）=

12-4t

5

．
由sin∠OAB=

PC

PA

=

OB

AB

得：PC=

3

5

（4-

3

t）=

12-3 3 t

5

．
∴MH=

1

2

（

12-4t

5

+

12-3 3 t

5

）=

24-(4+3 3 )t

10

．
由⊙M与线段AB有两个公共点可得：MH＜

1

2

PQ．
则有

24-(4+3 3 )t

10

＜t．
解得：t＞

336-72 3

169

．
由其中一个点到终点时另一个点也随之停止可得：

3 t≤4 t≤3

．
解得：t≤

4 3

3

．
∴t的取值范围是

336-72 3

169

＜t≤

4 3

3

．
故答案为：

336-72 3

169

＜t≤

4 3

3

．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系、平行线分线段成比例、锐角三角函数的定义、勾股定理、解不等式组等知识，而利用梯形中位线定理表示出圆心到直线的距离是解决本题的关键．