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    【题目】（探究）（1）如图①，点E、F、G、H分别在平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，连结EF、FG、GH、HE，将△AEH、△BFE、△CGF、△DHG分别沿EF、FG、GH、HE折叠，折叠后的图形恰好能拼成一个无重叠、无缝隙的矩形．若，，求的长．

    （拓展）（2）参考图②，四边形ABCD是平行四边形，，当按图①的方式折叠后的图形能拼成一个无重叠、无缝隙的正方形时，则___________．

    【答案】（1）；（2）

    【解析】

    （1）根据题意可证△HGN≌△EFM，可得HN=FM，且AH=HM，可证AD=HF=5，根据勾股定理可求EH的长．

    （2）由探究可得AD=HF，BE=EM=AE，∠B=∠EMF，由EFGH为正方形，可得HF=EF，∠EFH=45°，解△EFM可得EM=EF，则可求的值．

    解：（1）如图1


    ∵折叠后A、B落在点M处，C、D落在点N处．

    ∵四边形ABCD是平行四边形，

    ∴∠C+∠D=180°，∠B=∠D．

    由折叠可知，

    ∠C=∠FNG，∠D=∠HNG，∠B=∠EMF=∠D=∠GNH，HD=HN，MF=BF，AH=MH．

    ∴H、N、F共线．

    ∵折叠后的图形恰好能拼成一个无重叠、无缝隙的矩形，

    ∴H、N、M、F共线，EF=HG，EF∥HG，∠FEH=90°．

    ∴∠NHG=∠MFE．

    ∴△EFM≌△GHN．

    ∴MF=BF=HN=HD．

    ∴AH+HD=MH+MF．

    即AD=FH．

    ∵AD=5，EF=2，∠FEH=90°，

    ∴FH=5．

    由勾股定理得

    ；

    （2）如图2

    由探究可得：AD=HF，BE=EM=AE，∠B=∠EMF

    ∵∠A=120°，AD∥BC

    ∴∠B=60°=∠EMF

    ∵EHGF是正方形

    ∴EH=EF，∠EFH=45°

    ∴FH=EF

    作EO⊥HF，且∠EFH=45°

    ∴EO=FO=EF

    ∵∠EMF=60°，EO⊥HF，

    ∴EO=OM，EM=2MO

    ∴OM=EF，EM=EF

    ∴BE=AE=EF

    ∴AB=EF

    ∴.

    故答案为：.

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    （1）AM= ，AP= ．（用含t的代数式表示）

    （2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值

    （3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，

    ①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由

    ②使四边形AQMK为正方形，求 出AC的长．

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    A．选购乙品牌的D型号 B．既选购甲品牌也选购乙品牌

    C．选购甲品牌的A型号和乙品牌的D型号 D．只选购甲品牌的A型号

    （2）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；

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    其中正确的有_____________________．（填序号）

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