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【题目】甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数(每次只能写一个数),规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数,最后不能写的为失败者,如果甲写第一个,那么,甲写数字时有必胜的策略.

A. 10 B. 9 C. 8D.6

【答案】D

【解析】

解答此题的关键是第一个数字写出后,后面可写的数字是偶数个,并且可以分成不是约数关系的几组.

对于选项A:当甲写10,乙可以写3、4、6、7、8、9,如果乙写7,则乙必胜,因为无论甲写3,4,6,8,9这五个数中的6(连带3)8(连带4),乙可以写43,剩下2个数字;当甲写34,乙可以写8(连带4)6(连带3),剩下偶数个数字甲最后不能写,乙必胜;

对于选项B:当甲写9,乙可以写2、4、5、6、7、8、10,如果乙写6,则乙必胜,因为剩下4、5、7、8、105个数中,无论甲写8(连带4)10(连带5),乙可以写54;当甲写45,乙可以写10(连带5)8(连带4),甲最后不能写,乙必胜;

对于选项C:当甲写8,乙可以写3、5、6、7、9、10,当乙写6(10),甲就必须写10(6),因为乙写6(10),连带3(5)也不能写了,这样才能保证剩下能写的数有偶数个,甲才可以获胜;

对于选项D: 甲先写6,由于6的约数有1,2,3,6,接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10,把这6个数分成三组:(4,7)、(5,8)、(9,10),当然也可(4,5)、(8,10)、(7,9)(4,9)、(5,7)、(8,10)等等,只要组内两数大数不是小数的倍数即可,这样,乙写某组数中的某个数时,甲就写同组中的另一数,从而甲一定写最后一个,甲必获胜,

综上可知,只有甲先写6,才能必胜,

故选:D.

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