【题目】我们知道,若线段上的个点把这条线段分制为两部分,其中较长的一部分与全长之比等于时,则这个点称为黄金分割点。类比三角形中线的定义,我们规定:连接三角形的一个顶点和它对边的黄金分割点的线段叫做该三角形的黄金分割线.
(1)如图1,CD是△ABC的黄金分割线(AD> BD),△ABC的面积为4,求△ACD的面积 ;
(2)如图2,在△ABC中,∠A= 36°,AB=AC=1,过点B作BD平分∠ABC,与AC相交于点D,求证: BD是△ABC的黄金分割线.
(3)如图3,BE、CD是△ABC的黄金分割线(AD> BD,AE> CE),BE、CD相交于点O.
①设△BOD与△COE的面积分别为S1、S2 ,请猜想S1、S2之间的数量关系,并说明理由;
②求的值.
【答案】(1)2-2;(2)见解析;(3)①S1=S2;②.
【解析】
(1)设△ABC中AB边上的高为h,根据AD=AB,得出S△ACD=×ABh,从而可求出△ACD的面积;
(2)根据题意得出AD=BD=BC,求得△BCD∽△ABC,根据相似三角形的性质可得CD:BC=BC:AC,求得BC即可得解;
(3)①连接ED,根据题意得出S△ABE=S△ACD,即可得解;②求得△ADE∽△ABC,进一步求得△ODE∽△OCB,然后根据OD:OC=DE:BC=求解即可.
(1)根据题意可知:AD:AB=,设△ABC中AB边上的高为h,
则AD=AB,
∴S△ACD=ADh=×ABh=×4=2-2;
(2)∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵过点B作BD平分∠ABC,与AC相交于点D,
∴∠CBD=∠A=36°,∠BDC=∠C=72°,
∴AD=BD=BC,
∴△BCD∽△ABC,
∴CD:BC=BC:AC,即,
解得BC=,
∴AD=,即D点是AC的黄金分割点,
∴BD是△ABC的黄金线;
(3)①S1=S2,理由如下:
如图,连接ED,
根据题意可得AD:AB=AE:AC=,
∴S△ABE:S△ABC=S△ACD
∴S△ABE=S△ACD,
∴S△COE=S△BOD,即S1=S2;
②由①得AD:AB=AE:AC,
又∵∠A是公共角,
∴△ADE∽△ABC,
∴∠DEA=∠BCA,DE:BC=AE:AC=,
∴DE∥BC,
∴△ODE∽△OCB,
∴OD:OC=DE:BC=,
∴OD:CD==.
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【题目】在一个不透明的布袋里装有4个标有数字为-3、-1、2、4的小球,它们的材质、形状、大小完全相同,小明从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,小红从剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点P的坐标(x,y).
(1)请你运用画树状图或列表的方法,写出点P所有可能的坐标;
(2)求出点P(x,y)满足x+y>1的概率.
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【题目】已知x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4=0两个实数根,并且x1≠x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值;
(3)若|x1﹣x2|=6,求的值.
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【题目】如图,在由边长均为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点(网格线的交点)上,请按要求完成下列各题.
(1)试证明△ABC是直角三角形;
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.
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【题目】近视镜镜片的焦距(单位:米)是镜片的度数(单位:度)的函数,下表记录了一组数据:
(单位:度) | … | 100 | 250 | 400 | 500 | … |
(单位:米) | … | 1.00 | 0.40 | 0.25 | 0.20 | … |
(1)在下列函数中,符合上述表格中所给数据的是_________;
A. B. C. D.
(2)利用(1)中的结论计算:当镜片的度数为200度时,镜片的焦距约为________米.
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【题目】如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC 和 AB 上,BE=3,AF=2,BF=4,将△ BEF 绕点 E 顺时针旋转,得到△GEH,当点 H 落在 CD 边上时,F,H 两点之间的距离为_____.
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