Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若AC=8，EF=6，求BF的长.

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴EF为AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA．
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE平行四边形，
又∵EA=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形．

（2）解：∵四边形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，
∴OE=3，OA=4，
又∵EF⊥AC，
∴AE=CF=5，
设BF=x，
在Rt△ABF中，
AB2=AF2﹣BF2，
在Rt△ABC中，
AB2=AC2﹣BC2．
∴52﹣x2=82-（x+5）2，
解得 x=，
∴ BF=．

【解析】（1）由中垂线定义得EF为AC的垂直平分线，再由其性质得EA=EC，FA=FC；根据等腰三角形性质——等边对等角得∠EAC=∠ECA，
∠FAC=∠FCA；由平行线的性质知∠EAC=∠FCA，等量代换即可得∠FAC=∠ECA，由平行线的判定得AF∥CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AFCE平行四边形；再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证．
（2）由菱形的性质和已知条件得OE=3，OA=4，再由勾股定理得AE=CF=5，设BF=x；在Rt△ABF和Rt△ABC中，由勾股定理得
AB2=AF2﹣BF2，AB2=AC2﹣BC2．代入数值即可得出方程，解之即可得出答案.
【考点精析】掌握等腰三角形的性质和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．