Question

【题目】性质探究

如图①，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为________．

理解运用

⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为，则它的面积为________；

⑵如图②，在四边形中，．

①求证：；

②在边上分别取中点，连接．若，,直接写出线段的长．

类比拓展

顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含的式子表示）．

Answer 1

【答案】性质探究：；理解运用：（1）；（2）①见解析；②；类比拓展：.

【解析】

性质探究：作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的性质得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角形的性质得出AC=2CD，AD=CD，得出AB=2AD=2CD，即可得出结果；

理解运用：（1）同上得出则AC=2CD，AD=CD，由等腰三角形的周长得出4CD+2CD=8+4，解得：CD=2，得出AB=4，由三角形面积公式即可得出结果；

（2）①由等腰三角形的性质得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；

②连接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性质得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四边形内角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH=30°，由直角三角形的性质得出PE=EF=5，PF=PE=5，得出FH=2PF=10，证明MN是△FGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；

类比拓展：作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，由三角函数得出BD=AB×sinα，得出BC=2BD=2AB×sinα，即可得出结果．

性质探究

解：作CD⊥AB于D，如图①所示：

则∠ADC=∠BDC=90°，

∵AC=BC，∠ACB=120°，

∴AD=BD，∠A=∠B=30°，

∴AC=2CD，AD=CD，

∴AB=2AD=2CD，

∴=；

故答案为：；

理解运用

（1）解：如图①所示：

同上得：AC=2CD，AD=CD，

∵AC+BC+AB=8+4，

∴4CD+2CD=8+4，

解得：CD=2，

∴AB=4，

∴△ABC的面积=AB×CD=×4×2=4；

故答案为：4

（2）①证明：∵EF=EG=EH，

∴∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，

∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH；

②解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图②所示：

则PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，

∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，

∵EF=EH，

∴∠EFH=30°，

∴PE=EF=5，

∴PF=PE=5，

∴FH=2PF=10，

∵点M、N分别是FG、GH的中点，

∴MN是△FGH的中位线，

∴MN=FH=5；

类比拓展

解：如图③所示：作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，

∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，

∵sinα=，

∴BD=AB×sinα，

∴BC=2BD=2AB×sinα，

∴=2sinα；

故答案为：2sinα．