Question

【题目】如图，∠A=∠DBE=α，

（1）如图1，若C点在射线AB上，且∠C=α，求证：；

（2）如图2，若C在射线AB上，α=60°，∠ABD=75°，EC∥AD，EC=2AB=4，求S四边形BCED；

（3）如图3，若α=90°，BD平分∠ADE，EF⊥AD于F，线段BF、DE交于G，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）如图1，证明△DAB∽△BCE，可解答；

（2）如图2，作辅助线，构建30°的直角三角形和等腰直角三角形，分别计算BE、DH、BC和EF的长，根据S四边形BCED=S△BDE+S△BCE可解答；

（3）如图3，作辅助线，构建相似三角形，证明△EFD∽△HAD和△EFG∽△HBG，列比例式可解答．

（1）证明：如图1，

∵∠A=∠DBE=α，

∴∠D+∠ABD=∠ABD+∠EBC=180°-α，

∴∠D=∠EBC，

∵∠A=∠C=α，

∴△DAB∽△BCE，

∴；

（2）解：如图2，过B作BG⊥AD于G，过D作DH⊥BE于H，过E作EF⊥AC于F，

∵∠DAB=60°，∠ABD=75°，

∴∠ADB=180°-60°-75°=45°，

Rt△ABG中，∠ABG=30°，AB=2，

∴AG=1，BG=，

∵△BDG是等腰直角三角形，

∴BD=BG=，

∵∠DBE=α=60°，

Rt△DBH中，∠BDH=30°，

∴，

∵∠ABD=75°，∠DBE=60°，

∴∠EBF=45°，

∴△EBF是等腰直角三角形，

∵EC∥AD，

∴∠ECF=∠A=60°，

Rt△ECF中，∠CEF=30°，

∵EC=4，

∴CF=2，EF=BF=2，

∴BE=EF=2；

∴S四边形BCED=S△BDE+S△BCE

=；

（3）解：如图3，过B作BM⊥DE于M，过E作EC⊥AB于C，延长ED、BA交于H，

∵BD平分∠ADE，∠DAB=90°，

∴AB=BM，

∵∠DBE=α=90°，

∴∠CBE+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，

∴∠CBE=∠ADB=∠BDE，

∵∠DBE=∠C=90°，

∴∠DEB=∠CEB，

∴BM=BC，

∴BC=AB，

∵EF⊥AD，

∴∠EFA=90°，

∵∠FAC=∠C=90°，

∴四边形FACE是矩形，

∴EF=AC，

设AB=x，则EF=2x，

∵EF∥CH，

∴△EFD∽△HAD，

∴，

∵，

∴，

∵EF∥BH，

∴△EFG∽△HBG，

∴．