Question

8．已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C、D重合），且∠EAC=2∠EBC．
（1）如图1，若∠EBC=27°，且EB=EC，则∠DEB=54°，∠AEC=99°．
（2）如图2，
①求证：AE+AC=BC；
②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB=27°，根据角平分线的性质得到∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°，再由角平分线的性质得到∠ACD=∠ECB=27°，因为∠EAC=2∠EBC=54°，求得∠AEC=180°-27°-54°=99°；
（2）①在BC上取一点M，使BM=ME，根据等腰三角形的性质得到∠MBE=∠MEB，由∠EAB=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE，得到∠EAC=∠EMC，由全等三角形的性质推出AE=ME，CM=AC，于是得到结论；
②如图2，在BC上取一点M，使BM=ME，连接AM，由∠ECB=30°，得到∠ACB=60°，于是推出△AMC是等边三角形，通过三角形全等得到∠EBC=∠MAE，由∠MAC=60°，得到∠EAC=2∠EBC=2∠MAE，于是得出结果．

解答 解：（1）∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=27°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECB=27°，
∵∠EAC=2∠EBC=54°，
∴∠AEC=180°-27°-54°=99°，
故答案为：27°，99°；

（2）①证明：如图1，在BC上取一点M，使BM=ME，
∴∠MBE=∠MEB，
∵∠EAC=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE，
∴∠EAC=∠EMC，
在△ACE与△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CME}\\{∠ACE=∠MCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△MCE，
∴AE=ME，CM=AC，
∴AE=BM，
∴BC=BM+CM=AE+AC；
②如图2在BC上取一点M，使BM=ME，连接AM，
∵∠ECB=30°，
∴∠ACB=60°，由①可知；△AMC是等边三角形（M点与B点重合），
∴AM=AC=BE，
在△EMB与△MEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BM}\\{EM=EM}\\{AM=BE}\end{array}\right.$，
∴∠EBC=∠MAE，
∵∠MAC=60°，
∵∠EAC=2∠EBC=2∠MAE，
∴∠MAE=20°，∠EAC=40°，
∴∠EBC=20°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．