【题目】如图,Rt△ABE中,∠B=90°,AB=BE,将△ABE绕点A逆时针旋转45°,得到△AHD,过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C,连接BH并延长交DC于点F,连接DE交BF于点O.下列结论:①DE平分∠HDC;②DO=OE;③H是BF的中点;④BC-CF=2CE;⑤CD=HF,其中正确的有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
【答案】B
【解析】
根据∠B=90°,AB=BE,△ABE绕点A逆时针旋转45°,得到△AHD,可得,并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形,可证,根据,可得,根据三角形的内角和可得,即DE平分∠HDC,所以①正确;
利用,得到四边形是矩形,有,,由①有DE平分∠HDC,得,可得,,可证,利用 易证,则有,,所以②正确;
过作于,并延长交于点,得,是的中点,是的中点,是的中点,所以③正确;
根据是等腰直角三角形,,∵是的中点,是的中点,得到,,,易证,所以④正确;
利用AAS证明,则有,,易的,,则不是直角三角形,并 ,即有:,所以⑤不正确;
解:∵Rt△ABE中,∠B=90°,AB=BE,
∴
又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°,得到△AHD,
∴,并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形,
∴, ,,
∴
∴,
∴
∴,∴,
又∵
∴
∴由三角形的内角和可得,
即:DE平分∠HDC,所以①正确;
∵
∴四边形是矩形,
∴
∴,
由①有DE平分∠HDC,∴
∵,
∴,
∴
∴
在中,
∴
∴
∴
∴,所以②正确;
过作于,并延长交于点,
∵
∴
又∵是等腰直角三角形,
∴是的中点,
∵四边形是矩形,
∴是的中点,
∴是的中点,所以③正确;
∵是等腰直角三角形,
∴
又∵是的中点,是的中点,
∴,,,
∴
即有:,所以④正确;
在和中,
,
∴,
,,
∵
∴,
∴
∴不是直角三角形,并
即有:,所以⑤不正确;
综上所述,正确的有①②③④,
故选:B.
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【题目】如图,线段AB为⊙O的直径,点C,E在⊙O上,,CD⊥AB,垂足为点D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若cos∠ABE,在AB的延长线上取一点M,使BM=4,⊙O的半径为6.求证:直线CM是⊙O的切线.
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【题目】如图,在中,,是的角平分线.以为圆心,为半径作.
(1)求证:是的切线;
(2)已知交于点,延长交于点,,求的值.
(3)在(2)的条件下,设的半径为,求的长.
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【题目】如图所示,某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若斜坡FA的坡比i=1:,求大树的高度.(结果保留一位小数)参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,取1.73.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是对角线BD的中点,直角∠GEF的两直角边EF、EG分别交CD、BC于点F、G.
(1)若点F是边CD的中点,求EG的长;
(2)当直角∠GEF绕直角顶点E旋转,旋转过程中与边CD、BC交于点F、G.∠EFG的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠EFG的值;
(3)如图3,连接CE交FG于点H,若,请求出CF的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+c(a≠0)与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B.直线与x轴,y轴分别交于点C,D.
(1)求抛物线的对称轴.
(2)若点A与点D关于x轴对称.
①求点B的坐标.
②若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
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【题目】在一次数学实践活动中,观测小组对某品牌节能饮水机进行了观察和记录,当观察到第分钟时,水温为,记录的相关数据如下表所示:
第一次加热、降温过程 | … | |||||||||||
t(分钟) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | … |
y() | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 80 | 66.7 | 57.1 | 50 | 44.4 | 40 | … |
(饮水机功能说明:水温加热到时饮水机停止加热,水温开始下降,当降到时饮水机又自动开始加热)
请根据上述信息解决下列问题:
(1)根据表中数据在如给出的坐标系中,描出相应的点;
(2)选择适当的函数,分别求出第一次加热过程和第一次降温过程关于的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围;
(3)已知沏茶的最佳水温是,若18:00开启饮水机(初始水温)到当晚20:10,沏茶的最佳水温时间共有多少分钟?
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【题目】如图,以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点,交直角边AC于点E,B、E是半圆弧的三等分点,弧BE的长为π,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
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