【题目】如图,等边△ABC中,BM是ABC内部的一条射线,且,点A关于BM的对称点为D,连接AD,BD,CD,其中AD、CD的延长线分别交射线BM于点E,P.
(1)依题意补全图形;
(2)若ABM ,求BDC 的大小(用含的式子表示);
(3)用等式表示线段PB,PC与PE之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)见解析;(2) 60°+;(3)见解析.
【解析】
(1)正确画图;
(2)根据对称得:BM是AD的垂直平分线,则BA=BD,根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结论;
(3)在射线PD上截取PF使PF=PB,连接BF,如图,先证明△BPF是等边三角形,再证明△BFC≌△BPD,则CF=PD=2PE.根据线段的和可得结论.
(1)如图所示:
(2∵点A与点D关于BM对称,∴BM是AD的垂直平分线,∴BA=BD.
∵∠ABM=α,∴∠ABD=2∠ABM=2α.
∵等边△ABC,∴BA=CB=BD,∠ABC=60°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD =60°-,∴∠BDC=∠DCB=(180°∠DBC)=60°+.
(3)结论:PB=PC+2PE.证明如下:
在射线PD上截取PF使PF=PB,连接BF.
∵BA=BD,∠ABD=,∴∠BDA=∠BAD=90° .
∵∠BDC=60°+,∴∠PDE=180-(∠BDA+∠BDC)=30°.
∵∠DEP=90°,∴PD=2PE.
∵∠BPF=∠DPE=90°∠PDE=60°,PF=PB,∴△BPF是等边三角形,∴∠BPF=∠BFP=60°.
∵∠BDC=∠DCB,∴∠BDP=∠BCF.
在△BFC和△BPD中,∵ ,∴△BFC≌△BPD,∴CF=PD=2PE,∴PB= PC+BF=PC+2PE.
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【题目】如图1是立方体和长方体模型,立方体棱长和长方体底面各边长都为1,长方体侧棱长为2,现用60张长为6宽为4的长方形卡纸,剪出这两种模型的表面展开图,有两种方法:
方法一:如图2,每张卡纸剪出3个立方体表面展开图;
方法二:如图3,每张卡纸剪出2个长方体表面展开图(图中只画出1个).
设用x张卡纸做立方体,其余卡纸做长方体,共做两种模型y个.
(1)在图3中画出第二个长方体表面展开图,用阴影表示;
(2)写出y关于x的函数解析式;
(3)设每只模型(包括立方体和长方体)平均获利为w(元),w满足函数 ,若想将模型作为教具卖出,且制作的长方体的个数不超过立方体的个数,则应该制作立方体和长方体各多少个,使获得的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】为了响应市委和市政府“绿色环保,节能减排”的号召,幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只,很快售完.这两种节能灯的进价、售价如下表:
进价(元/只) | 售价(元/只) | |
甲种节能灯 | 30 | 40 |
甲种节能灯 | 35 | 50 |
(1)求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只?
(2)全部售完100只节能灯后,商场共计获利多少元?
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【题目】如图,大楼AB高16m,远处有一塔CD,某人在楼底B处测得塔顶C的仰角为39°,在楼顶A处测得塔顶的仰角为22°,求塔高CD的高.(结果保留小数后一位)
参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,si39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81.
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【题目】如图,ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到□AB′C′D′(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点,点D′与点D是对应点),点B′恰好落在BC边上,则∠C=( )
A.155° B.170° C.105° D.145°
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【题目】研学基地高明盈香生态园的团体票价格如下表:
数量(张) | 30~50 | 51~100 | 101及以上 |
单价(元/张) | 80 | 60 | 50 |
某校七年级(1)、(2)班共102人去研学,其中(1)班人数较少,不足50人,两个班相差不超过20人。经估算,如果两个班都以班为单位购票,则一共应付7080元,问:
(1)两个班各有多少学生?
(2)如果两个班联合起来,作为一个团体购票,可省多少钱?
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【题目】已知抛物线C1:y=﹣x2+2mx+1(m为常数,且m≠0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B.若点P是抛物线C1上的点,使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,则m为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】现在,苏宁商场进行促销活动,出售一种优惠购物卡(注:此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款),花300元买这种卡后,凭卡可在这家商场按标价的8折购物.
(1)顾客购买多少元金额的商品时,买卡与不买卡花钱相等?在什么情况下购物合算?
(2)小张要买一台标价为3500元的冰箱,如何购买合算?小张能节省多少元钱?
(3)小张按合算的方案,把这台冰箱买下,如果商场还能盈利25%,这台冰箱的进价是多少元?
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