Question

【题目】如图1是立方体和长方体模型，立方体棱长和长方体底面各边长都为1，长方体侧棱长为2，现用60张长为6宽为4的长方形卡纸，剪出这两种模型的表面展开图，有两种方法：
方法一：如图2，每张卡纸剪出3个立方体表面展开图；
方法二：如图3，每张卡纸剪出2个长方体表面展开图（图中只画出1个）．

设用x张卡纸做立方体，其余卡纸做长方体，共做两种模型y个．
（1）在图3中画出第二个长方体表面展开图，用阴影表示；
（2）写出y关于x的函数解析式；
（3）设每只模型（包括立方体和长方体）平均获利为w（元），w满足函数 ，若想将模型作为教具卖出，且制作的长方体的个数不超过立方体的个数，则应该制作立方体和长方体各多少个，使获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：展开图如图所示：

（2）解：y=3x+2（60-x）=x+120
（3）解：设总利润为Q（元），

Q=（1．6- ）（x+120）=-0．01x2+0．4x+192 =-0．01（x-20）2+196，∵制作的长方体的个数不超过立方体的个数， ∴2（60-x）≤3x，x≥24， ∴24≤x≤60， ∴x=24时，Q最大=195．84（元），60-24=36（个）

答：制作立方体24个，长方体36个时，利润最大为195．84元

【解析】(1）将图3中的长方体展开图旋转180画出图形即可；
（2）利用用x张卡纸做立方体，其余卡纸做长方体，共做两种模型y个，卡纸60张，每张长方形卡纸长为6，宽为4，由图知，一张卡纸可以做3个立方体，一张卡纸只能做2个长方体，然后根据所做的立方体的个数加所做的长方体的个数=总个数得出y与x的函数关系式；
（3）设总利润为Q（元），利用每只模型（包括立方体和长方体）平均获利为w（元），w满足函数w=1.6- ， 进而利用数量乘以每个的利润=总利润得出Q与x的函数关系式，并化为顶点式，然后根据制作的长方体的个数不超过立方体的个数，得出自变量x的取值范围，进而得出答案．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用几何体的展开图的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握沿多面体的棱将多面体剪开成平面图形，若干个平面图形也可以围成一个多面体；同一个多面体沿不同的棱剪开，得到的平面展开图是不一样的，就是说：同一个立体图形可以有多种不同的展开图．