Question

18．已知抛物线y=a（x-h）²的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）画出函数的图象；
（3）从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？

Answer 1

分析 （1）首先将对称轴x=-2，（1，-3）代入抛物线y=a（x-h）²中可得a，易得解析式；
（2）根据顶点坐标和点（1，-3）画抛物线；
（3）利用图象回答问题，对称轴的左侧，y随x的增大而增大；因为a是负数，所以函数有最大值．

解答 解：（1）∵x=-2为抛物线y=a（x-h）²的对称轴，
∴抛物线的解析式为：y=a（x+2）²，
将（1，-3）代入可得，
-3=a（1+2）²，
解得：a=$-\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为：y=$-\frac{1}{3}$（x+2）²；
（2）如图所示，
（3）∵该抛物线的对称轴为：x=-2，
∴顶点坐标为（-2，0），
根据抛物线的对称性得，当x＜-2时，y随x的增大而增大，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴函数有最大值，
∴当x=-2时，函数有最大值是0．

点评 本题是二次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，并画出抛物线，二次函数的最值问题就是抛物线的顶点问题：（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y_最小值=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y_最大值=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．