【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A,B两点,并经过点C,已知点A的坐标是(﹣6,0),点C的坐标是(﹣8,﹣6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标及点B的坐标;
(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点D,连接CD,并延长CD交抛物线于点E,连接AC,AE,求△ACE的面积;
(4)抛物线上有一个动点M,与A,B两点构成△ABM,是否存在S△ADM=S△ACD?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x﹣6;
(2)B(﹣2,0);
(3)S△ACE= 7.5;
(4)点M的坐标为(﹣3,)或(﹣5,
)或(﹣4+
,﹣
)或(﹣4﹣
,﹣
)时,S△ADM=
S△ACD.
【解析】试题分析:(1)利用待定系数法进行求解即可得;
(2)化为顶点式即可得到顶点坐标,令y=0,解方程即可得;
(3)求出直线CE的解析式,然后求出与x轴的交点坐标,利用S△ACE=S△ADE+S△ACD进行计算即可得;
(4)设M(x,﹣x2﹣4x﹣6),根据S△ABM=
S△ACD,通过计算即可得.
试题解析:(1)根据题意得,解得
,
所以抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x﹣6;
(2)y=﹣(x+4)2+2,则抛物线的顶点坐标为(﹣4,2);
当y=0时,﹣x2﹣4x﹣6=0,解得x1=﹣6, x2=﹣2,则B(﹣2,0);
(3)设直线CD的解析式为y=mx+n,
把D(﹣4,0),C(﹣8,﹣6)代入得,解得
,
所以直线CD的解析式为y=x+6,
解方程组 得
或
,则E(﹣3,
),
所以S△ACE=S△ADE+S△ACD=×2×
+
×2×6=7.5;
(4)存在.
设M(x,﹣x2﹣4x﹣6),
∵S△ABM=S△ACD,
∴×4|﹣
x2﹣4x﹣6|=
×
×2×3,
当﹣x2﹣4x﹣6=
,解得x1=﹣3,x2=﹣5,此时M点坐标(﹣3,
)或(﹣5,
);
当﹣x2﹣4x﹣6=﹣
,解得x1=﹣4+
,x2=﹣4﹣
,此时M点坐标(﹣4+
,﹣
)或(﹣4﹣
,﹣
),
综上所述,点M的坐标为(﹣3,)或(﹣5,
)或(﹣4+
,﹣
)或(﹣4﹣
,﹣
)时,S△ADM=
S△ACD.
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【题目】如图所示,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值.测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为31°,塔底B的仰角为26.6°.已知塔高BC=40米,塔所在的山高OB=240米,OA=300米,图中的点O、B、C、A、P在同一平面内.
求:
(1)P到OC的距离.
(2)山坡的坡度tanα.
(参考数据sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50;sin31°≈0.52,tan31°≈0.60)
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【题目】水果店以每箱60元新进一批苹果共400箱,为计算总重量,从中任选30箱苹果称重,发现每箱苹果重量都在10千克左右,现以10千克为标准,超过10千克的数记为正数,不足10千克的数记为负数,将称重记录如下:
(1)求30箱苹果的总重量
(2)若每千克苹果的售价为10元,则卖完这批苹果共获利多少元
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【题目】如图,把一张长10cm,宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少?
(2)如果把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,那么它的侧面积(指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积)可以达到30cm2吗?请说明理由.
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【题目】如图,已知函数的图象与x轴交于点A,一次函数
的图象分别与x轴、y轴交于点B,C,且与
的图象交于点D(m,4).
(1)求m,b的值;
(2)△ACD的面积是___________
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【题目】如图,在数轴上,点A表示1,现将点A沿轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点
,第二次将点
向右移动6个单位长度到达点
,第三次将点
向左移动9个单位长度到达点
,按照这种移动规律移动下去,第
次移动到点
,如果点
与原点的距离不小于20,那么
的最小值是 .
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【题目】阅读理解:若A、B、C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离2倍,我们就称点C是(A,B)的好点.
例如,如图1,点A表示的数为-1,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是(A,B)的好点;
又如,表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是(A,B)的好点,但点D是(B,A)的好点.
知识运用:如图2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为-2,点N所表示的数为4.
(1)数_______________________ 所表示的点是(M,N)的好点;
(2)数________________________ 所表示的点是(N,M)的好点;
(温馨提示:注意考虑M,N的左侧、右侧,不要漏掉答案)
(3)如图(3)A,B为数轴上的两点,点A所表示的数为-20,点B表示的数为 40,现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以2单位每秒的速度一直向左运动,
①当t为何值时,P是(A,B)的好点?
②当t为何值时,P是(B,A)的好点?
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【题目】【探索发现】
如图①,是一张直角三角形纸片,∠B=90°,小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE、EF剪下时,所得的矩形的面积最大,随后,他通过证明验证了其正确性,并得出:矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 .
【拓展应用】
如图②,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上,顶点Q、M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为 .(用含a,h的代数式表示)
【灵活应用】
如图③,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角),求该矩形的面积.
【实际应用】
如图④,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.
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