Question

【题目】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式了的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：

若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），

则有a＝m2+2n2，b＝2mn．

这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；

（2）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；

（3）化简：．

Answer 1

【答案】（1）a＝m2+7n2，b＝2mn；（2）a的值为为12或28；（3）+1．

【解析】

（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；

（2）利用（1）中结论得到6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后利用a＝m2+3n2计算对应a的值；

（3）设

＝t，两边平方得到t2＝4﹣+4++2，然后利用（1）中的结论化简得到t2＝6+2，最后把6+2写成完全平方形式可得到t的值．

解：（1）设a+b＝（m+n）2＝m2+7n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），

则有a＝m2+7n2，b＝2mn；

故答案为m2+7n2，2mn；

（2）∵6＝2mn，

∴mn＝3，

∵a、m、n均为正整数，

∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，

当m＝1，n＝3时，a＝m2+3n2＝1+3×9＝28；

当m＝3，n＝1时，a＝m2+3n2＝9+3×1＝12；

即a的值为为12或28；

（3）设

＝t，

则t2＝4﹣+4++2

＝8+2

＝8+2

＝8+2（﹣1）

＝6+2

＝（+1）2，

∴t＝+1．