Question

19．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设顶点式y=a（x-2）²+1，然后把（0，0）代入求出a即可；
（2）先利用抛物线的对称性求出B点坐标得到OB=4，再利用二次函数图象上点的坐标特征，设M（x，-$\frac{1}{4}$x²+x），于是根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$×4×|-$\frac{1}{4}$x²+x|=3×$\frac{1}{2}$×4×1，然后解绝对值方程求出x即可得到满足条件的m的值．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+1，
把（0，0）代入得4a+1=0，解得a=-$\frac{1}{4}$．
所以抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，即y=-$\frac{1}{4}$x²+x；
（2）存在．
因为抛物线的对称轴为直线x=2，则B（4，0），
设M（x，-$\frac{1}{4}$x²+x），
根据题意得$\frac{1}{2}$×4×|-$\frac{1}{4}$x²+x|=3×$\frac{1}{2}$×4×1，
所以-$\frac{1}{4}$x²+x=3或-$\frac{1}{4}$x²+x=-3，
方程-$\frac{1}{4}$x²+x=3无解；
解方程-$\frac{1}{4}$x²+x=-3得x₁=-2，x₂=6，
此时M点的坐标为（-2，-3）或（6，-3）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．