Question

16．在?ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，BF交DE于点H，交AD的延长线于点G，下面结论中：
①BD=$\sqrt{2}$BE；②∠A=∠BHE；③CD²+BG²=AG²；④BH×DG=ED×GH．
正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE=DE，BD=$\sqrt{2}$BE，则可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；由AB∥DF，得到∠ABG=90°，于是得到AB²+BG²=AG²，由等量代换可得③正确；根据三角形相似和等量代换可得④正确．

解答 解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=DE，BD=$\sqrt{2}$BE，所以①正确；
∵BF⊥CD，
∴∠C+∠CBF=90°，
而∠BHE+∠CBF=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，所以②正确；
∵AB∥DF，
∴AB⊥BG，
∴∠ABG=90°，
∴AB²+BG²=AG²，
∵AB=CD，
∴CD²+BG²=AG²；所以③正确；
∵DG∥BE，
∴△BEH∽△GDH，
∴$\frac{BE}{DG}=\frac{BH}{HG}$，
∴BH•DG=BE•HG，
∵BE=DE，
∴BH×DG=ED×GH，所以④正确；
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了平行四边形的性质．