Question

7．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE、CF和EF，则下列结论中一定成立的是①②③（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF=∠EAF； ④EF⊥CD．

Answer 1

分析 根据平行四边形的对角相等，等边三角形的每一个角都是60°表示出∠CBE=∠CDF，平行四边形的对边相等，等边三角形的三条边都相等可得CB=DF，CD=BE，然后利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF=EF，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；再表示出∠EAF，可得∠CDF=∠EAF，判定③正确；根据等边三角形的性质，只有∠ABC=150°时，EF⊥CD．

解答 解：在?ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=∠ADC-60°，
∠EBC=∠ABC-60°，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=BC}\\{∠CDF=∠EBC}\\{CD=EB}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；
同理可证△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等边三角形，故②正确；
在?ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故③正确；
当EF⊥CD时，∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEF=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°已知中没有给出，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了平行四边形的对边相等，邻角互补的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，仔细分析便不难求解．