Question

【题目】（解决问题）已知，，是同一平面上的三个点，以线段，为边，分别作正三角形和正三角形，连接，．

（1）如图1，当点，，在同一直线上时，线段与的大小关系是__________；

（2）如图2，当，，为三角形的顶点时（点，，不在同一条直线上），判断线段与的大小关系是否发生改变，并说明理由；

（类比猜想）

（3）已知，，是同一平面上的三个点，以线段，为边，分别作正方形，连接，，如图3和图4所示．判断线段与的大小关系，并在图4（点，，不在同一条直线上）中证明你的判断；

（推广应用）（4）上面的这些结论能否推广到任意正多边形（不必证明）？

（5）如图5，与的大小关系是__________，并写出它们分别在哪两个全等三角形中；

（6）请在图6中连接图中两个顶点，构造处一组全等三角形，并写出这两个全等的三角形．

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）没有发生变化，理由见解析；（3）=，理由见解析；（4）能推广到任意正多边形；（5）相等；△ABD’≌△DBC；（6）△GAD’≌△BAC．

【解析】

（1）根据正三角形的性质证明△ABD’≌△DBC，即可求解；

（2）同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；

（3）根据正方形的性质同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；

（4）根据题意及图形的特点可知这些结论能否推广到任意正多边形；

（5）根据正五边形的性质同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；

（6）连接GD’，证明△ABC≌△AGD’即可求解．

（1）∵△ABD、△BCD’是等边三角形，

∴AB=BD,BD’=BC,

∵,

∴

∴△ABD’≌△DBC（SAS）

∴=

故答案为：相等；

（2）线段与的大小关系没有改变，理由如下：

∵△ABD、△BCD’是等边三角形，

∴AB=BD,BD’=BC,

∵,

∴

∴△ABD’≌△DBC（SAS）

∴=

（3）在如图3和图4．判断线段与的大小关系为相等，理由如下：

∵四边形ABDE、四边形BCD’E’是正方形，

∴AB=BD,BD’=BC,

∵,

∴

∴△ABD’≌△DBC（SAS）

∴=

故线段与的大小关系为相等；

（4）根据题意及图形的特点同理可得△ABD’≌△DBC，则=

故线段与的大小关系为相等，能推广到任意正多边形；

（5）∵五边形ABDEF、五边形BCF’E’ D’是正方形，

∴AB=BD,BD’=BC,

∵,

∴

∴△ABD’≌△DBC（SAS）

∴=

故答案为：相等；△ABD’≌△DBC；

（6）如图，连接GD’，

∵六边形ABDEFG、六边形ACG’F’E’ D’是正方形，

∴AB=AG,AD’=AC,

∵,

∴

∴△GAD’≌△BAC（SAS）

故答案为△GAD’≌△BAC．