Question

6．如图，∠MON=90°，已知△ABC，AC=BC=5，AB=6，三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，三角形ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为7．

Answer 1

分析 取AB的中点D．连接CD．根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，根据D为AB中点，得到BD为3，根据三线合一得到CD垂直于AB，在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在Rt△AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．

解答 解：如图，取AB的中点D，连接CD．
∵AC=BC=5，AB=6．
∵点D是AB边中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CD=$\sqrt{{BC}^{2}-{BD}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；
连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴OD+CD=3+4=7，即OC=7．
故答案为：7．

点评 此题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．