Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3 （m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围为．

Answer 1

【答案】（1）A（0，－3），B（1，0）；（2）y=x2－2x－3；（3）．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法、对称轴公式即可解决问题；

（2）确定点C坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（3）如图，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，求出直线l经过点A、点C时的x1+x3+x2的值即可解决问题；

试题解析：解：（1）∵抛物线y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，﹣3）；

∵抛物线y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）的对称轴为直线x=1，∴点B的坐标为（1，0）．

（2）∵∠ACB=45°，∴点C的坐标为（1，﹣4），把点C代入抛物线y=mx2﹣2mx﹣3

得出m=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（3）如图，当直线l1经过点A时，x1=x3=0，x2=2，此时x1+x3+x2=2，当直线l2经过点C时，直线AB的解析式为y=3x﹣3，∵C（1，﹣4），∴y=﹣4时，x=﹣．

此时，x1=x2=1，x3=﹣，此时x1+x3+x2=，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，∴．