Question

13．菱形ABCD，∠ABC=60°，BD=6$\sqrt{3}$，点E在AB上，CE=2$\sqrt{7}$，将CE绕点C旋转60°得到线段CF交BD于F，则DF的长为2或4．

Answer 1

分析 先证明△ABC、△ACD是等边三角形，得出AC=AB=CD=AD，由三角函数求出AB，再证明△BCE≌△ACF，得出CE=CF=2$\sqrt{7}$，作FG⊥CD于G，设DG=x，则DF=2x，FG=$\sqrt{3}$x，CG=6-x，根据勾股定理得出方程（6-x）²+（$\sqrt{3}$x）²=（2$\sqrt{7}$）²，解方程得出x，即可得出DF．

解答 解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=3$\sqrt{3}$，AB=BC=CD=DA，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴AC=AB=CD=AD，∠ACB=∠CAD=∠ACD=60°，
∴AB=$\frac{OB}{sin60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=6，
∴CD=AB=6，
∵∠ECF=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠FAC=60°}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\\{∠BCE=∠ACF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF（ASA），
∴CE=CF=2$\sqrt{7}$，
作FG⊥CD于G，设DG=x，则DF=2x，FG=$\sqrt{3}$x，CG=6-x，
根据勾股定理得：CG²+FG²=CF²，
即（6-x）²+（$\sqrt{3}$x）²=（2$\sqrt{7}$）²，
解得：x=1或2，
∴2x=2或4，即DF=2或4．

点评 本题考查了菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数；通过作辅助线证明全等三角形和等边三角形是解决问题的关键．