Question

如图，在正五边形ABCDE中，对角线AC，BE相交于点F，F是线段BE、AC的黄金分割线吗？为什么？

Answer 1

考点：黄金分割

专题：常规题型

分析：根据正五边形的性质得到∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，则利用三角形内角和和等腰三角形的性质计算出∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，易得∠CBF=72°，∠CFB=72°，所以CB=CF，再证明△ABF∽△ACB，则AB：AC=AF：AB，所以CF：AC=AF：CF，根据黄金分割的定义得到点F是线段AC的黄金分割点，用同样的方法可得F是线段BE的黄金分割点．

解答：解：F是线段BE、AC的黄金分割点．理由如下：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，
∴∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，
∴∠CBF=72°，∠CFB=72°，
∴CB=CF，
∵∠ABF=∠ACB=36°，
∴△ABF∽△ACB，
∴AB：AC=AF：AB，
∴CF：AC=AF：CF，
∴点F是线段AC的黄金分割点，
同理可得F是线段BE的黄金分割点．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比．也考查了正五边形的性质．