Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6

3

，BD=3．
（1）求∠A的度数；
（2）求BC的长及△ABC的面积．

Answer 1

考点：射影定理

专题：计算题

分析：（1）先利用射影定理得到AC²=AD•AB，即（6

3

）²=AD•（AD+3），再解方程得到AD=9，然后根据正弦的定义求∠A；
（2）先根据含30度的直角三角形三边的关系求BC，然后根据三角形面积公式求△ABC的面积．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴AC²=AD•AB，即（6

3

）²=AD•（AD+3），
整理得AD²+3AD-108=0，解得AD=9或AD=-12（舍去），
在Rt△ACD中，∵cosA=

AD

AC

=

9

6 3

=

3

2

，
∴∠A=30°；
（2）∵AB=AD+BD=9+3=12，
而∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=6，
∴S_△ABC=

1

2

•AC•BC=

1

2

•6

3

•6=18

3

．

点评：本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．