Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=8，AG=4，求EC及EG的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°；然后根据角平分线的性质推知∠DAE+∠ADF=

1

2

∠BAD+

1

2

∠ADC=90°，即∠AGD=90°．
（2）通过△AGD∽△EGF的对应边成比例来求EC及EG的长．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC=180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE=∠BAE=

1

2

∠BAD，∠ADF=∠CDF=

1

2

∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF=

1

2

∠BAD+

1

2

∠ADC=90°．
∴∠AGD=90°．
∴AE⊥DF．

（2）解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC=AD=10，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC．
由（1）得∠BAE=∠AEB，∠CDF=∠DFC．
∵AB=DC=8，
∴BE=AB=8，FC=CD=8．
∴EC=BC-BE=2．
∴EF=FC-EC=6．
∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FEG，∠ADG=∠EFG．
∴△AGD∽△EGF．
∴

AD

EF

=

AG

EG

．
∴

10

6

=

4

EG

．
∴EG=

12

5

．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．解题时，一定要数形结合，便于求得相关线段间的数量关系．