Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为_____．

Answer 1

【答案】或.

【解析】

由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；

①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，证出PE∥CO，则△PBE∽△CBO，由已知得出点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，由相似对应边成比例得出PE＝3即可得出结果；

②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE⊥BO于E，证出PE∥CO，则△PBE∽△CBO，由已知得出AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，由勾股定理得出BC＝＝10，则BP＝2，由相似对应边成比例得出PE＝，BE＝，则OE＝即可得出结果．

解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，

∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；

①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：

∵PE⊥BO，CO⊥BO，

∴PE∥CO，

∴△PBE∽△CBO，

∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），

∴点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，

∵△PBE∽△CBO，

∴＝，即＝，

解得：PE＝3，

∴点P（﹣4，3）；

②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，

过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：

∵CO⊥BO，

∴PE∥CO，

∴△PBE∽△CBO，

∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），

∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，

∴BC＝＝＝10，

∴BP＝2，

∵△PBE∽△CBO，

∴＝＝，即：＝＝，

解得：PE＝，BE＝，

∴OE＝8﹣＝，

∴点P（﹣，）；

综上所述：点P的坐标为：（﹣，）或（﹣4，3）；

故答案为（﹣，）或（﹣4，3）．