Question

【题目】如图，D是△ABC边BC的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，若DE＝DF

（1）证明：△ABC的等腰三角形

（2）连接AD，若AB＝5，BC＝8，求DE的长

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）求出BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，根据HL证出Rt△BDE≌Rt△CDF，得出∠B=∠C，即可得出结论；

（2）由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由勾股定理求出AD，根据面积法求出DE即可．

（1）证明：∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

∵DF⊥AB，DE⊥AC，

∴∠DFB=∠DEC=90°，

在Rt△BDF与Rt△CDE中，

，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：由（1）得：AB=AC，

∵D是△ABC边BC的中点，

∴AD⊥BC，CD=BC=4，

∴AD==3，

∵△ACD的面积=AC×DE=CD×AD，

∴．