Question

【题目】阅读以下材料，并解决相应问题：

材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在求解某些特殊方程时，利用换元法常常可以达到转化的目的，例如在求解一元四次方程，就可以令，则原方程就被换元成，解得 t 1，即，从而得到原方程的解是 x 1

材料二：杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现，它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列，下图为杨辉三角形：

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（1）利用换元法解方程：

（2）在杨辉三角形中，按照自上而下、从左往右的顺序观察， an 表示第 n 行第 2 个数（其中 n≥4），bn 表示第 n 行第 3 个数，表示第行第 3 个数，请用换元法因式分解：

Answer 1

【答案】（1）或或x=-1或x=-2；（2）=（n2-5n+5）2

【解析】

（1）设t=x2+3x-1，则原方程可化为：t2+2t=3，求得t的值再代回可求得方程的解；

（2）根据杨辉三角形的特点得出an，bn，cn，然后代入4（bn-an）cn+1再因式分解即可．

（1）解：令t=x2+3x-1

则原方程为：t2+2t=3

解得：t=1或者 t=-3

当t=1时，x2+3x-1=1

解得：或

当t=-3时，x2+3x-1=-3

解得：x=-1或x=-2

∴方程的解为：或或x=-1或x=-2

（2）解：根据杨辉三角形的特点得出：

an=n-1

∴4（bn-an）cn+1=（n-1）（n-4）（n-2）（n-3）+1=（n2-5n+4）（n2-5n+6）+1

=（n2-5n+4）2+2（n2-5n+4）+1=（n2-5n+5）2