【题目】如图,在Rt△ABC和Rt△BCD中,∠BAC=∠BDC=90°,BC=4,AB=AC,∠CBD=30°,M,N分别在BD,CD上,∠MAN=45°,则△DMN的周长为_____.
【答案】2+2
【解析】
将△ACN绕点A逆时针旋转,得到△ABE,由旋转得出∠NAE=90°,AN=AE,∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN,求出∠EAM=∠MAN,根据SAS推出△AEM≌△ANM,根据全等得出MN=ME,求出MN=CN+BM,解直角三角形求出DC,即可求出△DMN的周长=BD+DC,代入求出答案即可.
将△ACN绕点A逆时针旋转,得到△ABE,如图:
由旋转得:∠NAE=90°,AN=AE,∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN,
∵∠BAC=∠D=90°,
∴∠ABD+∠ACD=360°﹣90°﹣90°=180°,
∴∠ABD+∠ABE=180°,
∴E,B,M三点共线,
∵∠MAN=45°,∠BAC=90°,
∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC﹣∠MAN=90°﹣45°=45°,
∴∠EAM=∠MAN,
在△AEM和△ANM中,
,
∴△AEM≌△ANM(SAS),
∴MN=ME,
∴MN=CN+BM,
∵在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠CBD=30°,BC=4,
∴CD=BC=2,BD=
=2
,
∴△DMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=2+2,
故答案为:2+2.
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【题目】在半圆O中,AB为直径,AC、AD为两条弦,且∠CAD+∠CAB=90°.
(1)如图1,求证:弧AC等于弧CD;
(2)如图2,点E在直径AB上,CE交AD于点F,若AF=CF,求证:AD=2CE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接BD,若AE=4,BD=12,求弦AC的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y的图象经过点P(3,4).
(1)求k的值;
(2)求OP的长;
(3)直线y=mx(m≠0)与反比例函数的图象有两个交点A,B,若AB>10,直接写出m的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=45°,∠B=60°,BC为+1,点P为边AB上一动点,过点P作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,则DE的最小值为_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,0),点B(0,3),△ABO绕点B顺时针旋转,得△A′BO′,点A、O旋转后的对应点为A′、O′,记旋转角为α.
(1)如图1,若α=90°,求AA′的长;
(2)在(1)的条件下,边OA上的一点M旋转后的对应点为N,当O′M+BN取得最小值时,在图中画出求点M的位置,并求出点N的坐标。
(3)如图2,在△ABO绕点B顺时针旋转过程中,以AB、A′B为邻边画菱形AB A′E,F是AB的中点,连A′F交BE于P,BP的垂直平分线交AB于K,当α从60°到90°的变化过程中,点K的位置是否变化?若不变,求BK的长并直接写出此变化过程中点P的运动路径长.
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【题目】将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系
内,点
,点
,点
.点
是线段
上的动点,将
沿
翻折得到
.
(Ⅰ)如图①,当点落在线段
上时,求点
的坐标;
(Ⅱ)如图②,当点为线段
中点时,求线段
的长度;
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【题目】某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位:h),随机调査了该校的部分初中学生.根据调查结果,绘制出如下的统计图1和图2.请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次接受调查的初中学生人数为 ,图1中m的值为 ;
(Ⅱ)求统计的这组每天在校体育活动时间数据的众数和中位数;
(Ⅲ)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据,若该校共有1200名初中学生,估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数.
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【题目】如图,二次函数的图象经过坐标原点,与
轴的另一个交点为A(-2,0).
(1)求二次函数的解析式
(2)在抛物线上是否存在一点P,使△AOP的面积为3,若存在请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,D是△ABC边BC的中点,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,若DE=DF
(1)证明:△ABC的等腰三角形
(2)连接AD,若AB=5,BC=8,求DE的长
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