Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，若∠BAC=30°，且∠ECF=∠E．

（1）试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3﹣.

【解析】

（1）要证CF为⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°即可；

（2）根据三角函数求得AC的长，从而可求得BE的长，再利用三角函数可求出MB的值，从而可得到MO的长，进而得出AM．

（1）证明：如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=30°，

∴∠ABC=60°；

在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，

∴∠E=30°；

∵∠E=∠ECF，

∴∠ECF=30°，

∴∠ECF+∠OCB=90°；

∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，

∴∠OCF=90°，

∴CF为⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，

∴AC=ABcos30°=2，BC=ABsin30°=2；

∵AC=CE，

∴BE=BC+CE=2+2，在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，

∴MB=BEsin30°=1+，

∴MO=MB﹣OB=-1．

∴AM=2﹣+1=3﹣.