Question

11．如图，A为半径18cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以3πcm/s的速发沿圆周按逆时针方向运动，当点P回到A地立即停止运动．
  （1）如果∠POA=90°，求点P运动的时间；
（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB=OA，那么当点P运动的时间为2s时．判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$，所以分两种情况进行分析；
（2）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．

解答 解：（1）当∠POA=90°时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$，
设点P运动的时间为ts；
当点P运动的路程为⊙O周长的$\frac{1}{4}$时，3π•t=$\frac{1}{4}$•2π•18，
解得t=3；
当点P运动的路程为⊙O周长的$\frac{3}{4}$时，3π•t=$\frac{3}{4}$•2π•18，
解得t=9；
∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s．

（2）解：∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB=OA，OA=OP，
∴OB=2OP，∠OPB=90°；
∴∠B=30°；
∴∠O=60°；
∵OA=9cm，
∴$\widehat{AP}$=$\frac{60•π×9}{180}$=3π，
∴点P运动的距离为3π，
∴当t=1，有BP与⊙O相切．

点评 本题考查的是切线的性质及弧长公式，解答（2）题时要注意过圆外一点有两条直线与圆相切，不要漏解．