Question

15．二次函数y=（x-1）²+k分别与x轴、y轴交于A、B、C三点，点A在点B的左侧，直线y=-$\frac{2}{3}$x+2经过点B，且与y轴交于点D．
（1）如图1，求k的值；
（2）如图2，在第一象限的抛物线上有一动点P，连接AP，过P作PE⊥x轴于点E，过E作EF⊥AP于点F，过点D作平行于x轴的直线分别与直线FE、PE交于点G、H，设点P的横坐标为t，线段GH的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点G作平行于y轴的直线分别交AP、x轴和抛物线于点M、T和N，tan∠MEA=$\frac{3}{2}$，点K为第四象限抛物线上一点，且在对称轴左侧，连接KA，在射线KA上取一点R，连接RM，过点K作KQ⊥AK交PE的延长线于Q，连接AQ、HK，若∠RAE-∠RMA=45°，△AKQ与△HKQ的面积相等，求点R的坐标．

Answer 1

分析 （1）由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，然后把点B的坐标代入函数解析式即可求得k的值；
（2）如答图1，根据垂直的定义和同角的余角相等推知∠PEF=∠PAE．结合矩形DOEH的性质得到：HE=2．所以，根据三角函数的定义推知：$\frac{d}{HE}$=$\frac{PE}{AE}$，即$\frac{d}{2}$=$\frac{（t-1）^{2}-4}{t+1}$．由此得到答案；
（3）利用（2）中求得的函数关系式，矩形的性质和三角函数的定义易得P（4，5）．M（2，3）．由二次函数图象上点的坐标特征求得N（2，-3），作HW⊥KQ，过R作RL⊥x轴，构建矩形AKWH，全等三角形：△RAM≌△HAN，△ARL≌△AHE．结合坐标与图形的性质得到R（-3，5）．由执行直线MRy=$\frac{5}{2}$x-2，直线AK的解析式y=-$\frac{5}{2}$x-$\frac{5}{2}$求得交点R（-$\frac{1}{10}$，$\frac{9}{4}$）．

解答 解：（1）在一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+2中，令y=0，得：0=-$\frac{2}{3}$x+2，
解得x=3，
∴B（3，0）．
令x=0得y=2，
∴D（0，2）．
将B（3，0），代入y=（x-1）²+k得：4+k=0，
∴k=-4．

（2）如答图1所示：

∵PE⊥x轴，EF⊥AP，
∴∠PEA=∠EFA=90°
∵∠PEF+∠FEA=90°，∠PAE+∠FEA=90°
∴∠PEF=∠PAE．
∵DH∥x轴   HE⊥x轴
∴∠HDO=∠DOE=∠PEO=90°
∴四边形DOEH为矩形．
∴HE=2．
∴$\frac{d}{HE}$=$\frac{PE}{AE}$，
∴$\frac{d}{2}$=$\frac{（t-1）^{2}-4}{t+1}$．
∴d=2t-6．（t＞3）．

（3）∵∠TGH=∠GTE=∠TEH=90°，
∴GHET为矩形．
∴GH=d=ET=2t-6．
∵tan∠MEB=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{MT}{ET}$=$\frac{3}{2}$，
∴MT=3t-9．
∵$\frac{MT}{AT}$=$\frac{PE}{AE}$．
∴$\frac{3（t-3）}{t+1-（2t-6）}$=$\frac{（t-1）^{2}-4}{t+1}$，
解得t=4．
∴P（4，5）．
∴AT=AE-ET=t+1-（2t-6）=7-t=3．
∴M（2，3）
把x=2代入y=x²-2x-3中，得N（2，-3）

∴MT=TN=AT，∠MAT=90°．
∵∠RAE-∠RMA=45°，
∴∠RAE-45°=∠RMA，
∴∠RAM=∠RMA，
∵S_△AKQ=S_△HKQ，作HW⊥KQ．
∴AK∥HW，AK=HW，
∴四边形AKWH是矩形，
∴∠RAH=∠HAK=90°，
∴∠RAM=∠HAN．
∵A（-1，0），H（4，2），N（2，-3），
∴AH=HN=$\sqrt{29}$，
∴∠HAN=∠HNA=∠RAM=∠RMA．
 又∵AM=AN，
∴△RAM≌△HAN，
∴AR=AH．
过R作RL⊥x轴，
∴∠RLA=∠AEH=90°，
∵∠RAL+∠HAE=90，∠HAE+∠AHE=90，
∴∠RAL=∠AHE，
∴△ARL≌△AHE．
∴RL=AE=5，AL=HE=3
∴R（-3，5）．
由∠RAM-∠RMA=45°可知∠RAV=∠RVA，∠RMT=∠HAE，tan∠RMT=tan∠HAE=$\frac{2}{5}$，V（$\frac{4}{5}$，0），
直线MR的解析式为y=$\frac{5}{2}$x-2，直线AK的解析式为y=-$\frac{5}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
交点R（-$\frac{1}{10}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点，难度较大，注意题中辅助线的作法．