Question

4．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC=2$\sqrt{3}$，DE=1，求：
（1）⊙O的半径；
（2）弦AC的长；
（3）阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）半径OD⊥BC，所以由垂径定理知：CE=BE，在直角△OCE中，根据勾股定理就可以求出OC的值；
（2）根据AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，因而在直角三角形ABC中根据勾股定理得到AC的长；
（3）阴影部分的面积就是扇形OCA的面积减去△OAC的面积．

解答 解：（1）连接OC，
∵半径OD⊥BC，
∴CE=BE，
∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴CE=$\sqrt{3}$，
设OC=x，在直角三角形OCE中，OC²=CE²+OE²，
∴x²=（$\sqrt{3}$）²+（x-1）²，
∴x=2
即⊙O的半径为2；

（2）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，AB=4，
又∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC²=AB²-BC²=4，
∴AC=2；

（3）∵OA=OC=AC=2，
∴∠AOC=60°，
∴S_阴=S_扇-S_△OAC=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算．计算阴影部分的面积时，采用了“分割法”求得的．