Question

18．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，E是线段AC上一点，AE=3EC，连接BE并延长至D，连接CD，若∠BCD=120°，AB=6，则线段CD长为3．

Answer 1

分析 作BM⊥AC垂足为M，由题意得BM=3，只要利用△MEB≌△CED证明CD=BM即可．

解答 解：作BM⊥AC垂足为M，
∵BA=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠ACB=30°，
∵∠DCB=120°，
∴∠DCE=∠DCB-∠ACB=120°-30°=90°，
∴∠BMC=∠DCE=90°，
∴CD∥BM，
∵BA=BC=6，BM⊥AC，∠A=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=3，AM=MC，
∵AE=3EC，
∴EM=EC，
在△EMB和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠BME}\\{EM=EC}\\{∠MEB=∠DEC}\end{array}\right.$，
∴△MEB≌△CED，
∴CD=BM=3，
故答案为3．

点评 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．