Question

13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，△ABD是等边三角形，D、C两点在直线AB同侧，连接CD交AB延长线于E，AG⊥DC于G，DF⊥CB于F．
（1）求∠ADC；
（2）求证：CG=DF．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质得出AC=AD，∠BAD=60°，再由等腰直角三角形得出∠BAC=90°，从而得出∠CAD，即可得出∠ADC；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出∠FBD=∠CAG，即可证明△BFD≌△AGC，CG=DF．

解答 解：（1）∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD，
∴∠BAD=∠DBA=∠ADB=60°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC，∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°，
∴AD=AC，
∴∠ADC=ACD=45°，
∵∠ADC+∠ACD+∠DAC=180°，
∴∠ADC=$\frac{180°-30°}{2}$=75°；
（2）∵AD=AC，AG⊥CD，
∴∠AGC=90°，∠GAC=15°，
∵∠FBD=∠ABD=ABC=60°-45°=15°，
∴∠FBD=∠CAG，
∵DF⊥BC，
∴∠BFD=90°=∠AGC，
在△BFD和AGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠CAG}\\{∠BFD=∠AGC}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△BFD≌△AGC（AAS），
∴CG=DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质：三线合一以及全等三角形的判定是解题的关键．