Question

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=m（x-2）²与坐标轴交于A、B两点，点P（-3，0），PA=PB．
（1）求点A、B的坐标及m的值；
（2）将抛物线C₁平移后得到抛物线C₂，若抛物线C₂经过P且与x轴有另一个交点Q，点B的对应点为B′，当△B′PQ为等腰直角三角形时，求抛物线C₂的解析式；
（3）若抛物线C₃：y=ax²+bx+c过点P且与x轴交于另一点E，抛物线的顶点为D，当△DFE为等腰直角三角形时，求b²-4ac的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的解析式可求得点B的坐标，从而可求得PA=PB=5，利用勾股定理可求得点A的坐标，将点A的坐标代入解析式可求得m的值；
（2）设平移后抛物线的解析式为y=（x-a）²+b．过点B′作B′C⊥x轴，垂足为C，由等腰直角三角形的性质可知PC=B′C，结合抛物线的顶点坐标公式可得到a与b的关系式，由点P在抛物线上，可得到a与b的另一个关系，从而可求得a、b的值；
（3）过点B′作B′C⊥x轴，垂足为C，利用一元二次方程的求根公式，表示出EC的长，然后依据抛物线的顶点坐标公式表示DC的长，最后依据EC=DC列方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，
∴B（2，0）．
又∵P（-3，0），
∴PB=5．
∴PA=PB=5．
∴OA=$\sqrt{A{P}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∴A（0，4）．
将（0，4）代入得：4m=4，解得m=1．
（2）如图1所示；过点B′作B′C⊥x轴，垂足为C．

设平移后抛物线的解析式为y=（x-a）²+b．
∵△B′PQ为等腰直角三角形，CB′⊥QP，
∴PC=B′C．
∴3+a=b．
又∵抛物线过点P，
∴（3+a）²+b=0．
∴b²+b=0．
解得：b=0，b=-1．
当b=0时，a=-3（不和题意，舍去）．
当b=-1时，3+a=-1．解得a=-4．
∴抛物线C₂的解析式为y=（x+4）²-1．
如图2所示：过点B′作B′C⊥x轴，垂足为C．

设平移后抛物线的解析式为y=（x-a）²+b．
∵△B′PQ为等腰直角三角形，CB′⊥QP，
∴PC=B′C．
∴a+3=-b．
又∵抛物线过点P，
∴（3+a）²+b=0．
∴b²+b=0．
解得：b=0，b=-1．
当b=0时，a=-3（不和题意，舍去）．
当b=-1时，3+a=1．解得a=-2．
∴抛物线C₂的解析式为y=（x+2）²-1．
∴抛物线C₂的解析式为y=（x+2）²-1，或y=（x+4）²-1．
（3）如图3所示：过点D作DC⊥x轴，垂足为C．

∵△PDE为等腰直角三角形，
∴CE=CD．
∴|$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$|=|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|．
∴$\frac{{b}^{2}-4ac}{4{a}^{2}}$=$\frac{（{b}^{2}-4ac）^{2}}{16{a}^{2}}$．
解得：b²-4ac=4或：b²-4ac=0（舍去）．
当a＜0时，抛物线开口向下，此时|$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$|=|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|仍然成立．
综上所述，b²-4ac=4．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、勾股定理、一元二次方程的求根公式、二次函数的顶点坐标公式，等腰直角三角形的性质，依据CE=DC、PC=B′C列出关于a、b、c的方程是解题的关键．