Question

11．同学们小学学习了正方形，正方形就是四条边都相等，四个角都是直角．如图，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABME和正方形ACNF，射线GA交EF于点H，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据三角形相似和全等三角形的判定和性质即可解题．

解答 解：HE=HF．
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．
∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
又∵AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA．
同理△ACG∽△FAQ，
∴AG：FQ=AC：FA．
∵AB=k•AE，AC=k•AF，
∴AB：EA=AC：FA=k，
∴AG：EP=AG：FQ．
∴EP=FQ．
在Rt△EPH和Rt△FQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPH=∠FQA}\\{∠EHP=∠FHQ}\\{EP=FQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）．
∴HE=HF．

点评 本题考查了三角形相似的判定以及性质的综合应用，兼顾了全等三角形的证明以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证三角形相似是解题的关键．