Question

16．直角△ABC中，BC=AC，D为AB的中点，点N为平面内一点，连接DN，BN，过点D作DN的垂线交BN于点M，且∠DNM=∠ABC，连接CM．
（1）如图①，求证：BM-CM=$\sqrt{2}$DM．
（2）在图②，图③两种情况下，线段BM．CM．DM又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）若S_△ABC=$\frac{25}{2}$，tan∠BCM=$\frac{3}{4}$，则DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）图①中，连接CD，先证明△CDM≌△BDN得CM=BN，即可证明BM-CM=MN=$\sqrt{2}$DM．
（2）图②中，结论：BM+CM=$\sqrt{2}$DM，先证明△CDM≌△BDN得CM=BN由BM+CM=BM+BN=MN=$\sqrt{2}$DM得出结论．图③中，结论：CM-BM=$\sqrt{2}$DM，先证明△CDM≌△DN得CM=BN由CM-BM=BN-BM=MN=$\sqrt{2}$DM得出结论．
（3）在图①②③中利用已经证明的结论分别求出DM即可．

解答 （1）证明：如图①中，连接CD
∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB，∠A=∠BC=45°，CD⊥AB，
∵∠MDN=90°，∠DNM=∠ABC=45°，
∴∠DMN=∠DNM=45°，
∴DM=DN，MN=$\sqrt{2}$DM，
∵∠CDB=∠MDN=90°，
∴∠CDM=∠BDN，
在△DCM和△DBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDM=∠BDN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△BDN，
∴CM=BN，
∴BM-CM=BM-BN=MN=$\sqrt{2}$DM．
（2）在图②中，结论：BM+CM=$\sqrt{2}$DM．理由如下：
证明：连接CD，∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB，∠A=∠ABC=45°，CD⊥AB，
∵∠MDN=90°，∠DNM=∠ABC=45°，
∴∠DMN=∠DNM=45°，
∴DM=DN，MN=$\sqrt{2}$DM，
∵∠CDB=∠MDN=90°
∴∠CDM=∠BDN，
在△DCM和△DBN中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDM=∠BDN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△BDN，
∴CM=BN，
∴BM+CM=BM+BN=MN=$\sqrt{2}$DM
在图③中，结论：CM-BM=$\sqrt{2}$DM，理由如下：
证明：连接CD，∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB，∠A=∠ABC=45°，CD⊥AB，
∵∠MDN=90°，∠DNM=∠ABC=45°，
∴∠DMN=∠DNM=45°，
∴DM=DN，MN=$\sqrt{2}$DM，
∵∠CDB=∠MDN=90°，
∴∠CDM=∠BDN，
在△DCM和△DBN中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDM=∠BDN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△DN，
∴CM=BN，
∴CM-BM=BN-BM=MN=$\sqrt{2}$DM．
（3）在图①中∵∠DCB+∠DBC=90°
∴∠DCB+∠CBM+∠DBN=90°，
由（1）可知：△CDM≌△BDN，
∴∠DCM=∠DBN，
∴∠DCB+∠CBM+∠DCM=90°，
∴∠MCB+∠CBM=90°，
∴∠CMB=90°，
∵tan∠BCM=$\frac{3}{4}$，可以假设CM=3k，BM=4k，
∵S_△ACB=$\frac{25}{2}$，∴BC=CA=5，
∵CM²+BM²=BC²
∴（3k）²+（4k）²=25，
k=1，
∴MC=3，BM=4，
∵BM-CM=$\sqrt{2}$DM，
∴DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在图②中，∵∠CMD=∠N=45°，∠DMN=45°，
∴∠CMB=90°，
∵tan∠BCM=$\frac{3}{4}$，可以假设BM=3k，CM=4k，
∵CM²+BM²=BC²
∴（3k）²+（4k）²=25，
k=1，
∴MC=4，BM=3，
∵BM+CM=$\sqrt{2}$DM，
∴DM=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
在图③中，∵∠CMD=∠N=45°，∠DMN=45°，
∴∠CMN=∠CMB=90°，
∵tan∠BCM=$\frac{3}{4}$，可以假设BM=3k，CM=4k，
∵CM²+BM²=BC
∴（3k）²+（4k）²=25，
k=1，
∴MC=4，BM=3，
∵CM-BM=$\sqrt{2}$DM，
∴DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
综上所述：DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是三个图形中△CDM和△BDN都是全等的，证明方法类似，形变结论不变，在求DM时考虑问题必须全面．