Question

8．在一个三角形中，若一条边等于另一条边的两倍，则称这种三角形为“倍边三角形”． 例如：边长为a=2，b=3，c=4的三角形就是一个倍边三角形．
（1）如果一个倍边三角形的两边长为6和8，那么第三条边长所有可能的值为3，4，12．
（2）如图①，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E是AB的中点．
求证：△DCE是倍边三角形；
（3）如图②，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，若点D在边AB上（点D不与A、B重合），且△BCD是倍边三角形，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用倍边三角形的定义求解即可求得答案，注意三角形的三边关系；
（2）由已知，易证得△ACD∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得CD=2CE，即可证得结论；
（3）分BC=2BD、BC=2CD、BD=2CD、CD=2BD四种情况进行解答，求出各种情况下BD的长．

解答 （1）解：∵一个倍边三角形的两边长为6和8，
∴第三边可能为：3，4，12，16，
∵6+8＜16，不能组成三角形，舍去，
∴第三边可能为：3，4，12；
故答案为：3，4，12；

（2）证明：∵BD=AB=AC，
∴AD=2AC．即$\frac{AD}{AC}$=2．
∵E是AB的中点，
∴AB=2AE．
∴AC=2AE．即$\frac{AC}{AE}$=2，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$．
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△AEC．
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{AD}{AC}$=2．
∴△DCE是倍边三角形．

（3）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
①当BC=2BD时，BD=4；
②当BC=2CD时，如图①，
CD=4，作CE⊥AB于E，
tanA=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$=2，
设AE=x，则CE=2x，AC=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=4．x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴AE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在△ACD中，CD=AC=4，CE⊥AB，
∴AD=2AE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴BD=AB-AD=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$；
③当BD=2CD时，如图②，作DF⊥BC于F，
tanB=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
设DF=y，则BF=2y，BD=$\sqrt{5}$y，
∴CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$y，CF=$\frac{1}{2}$y．
∵BC=BF+CF，
∴8=2y+$\frac{1}{2}$y．
解得y=$\frac{16}{5}$．
∴BD=$\frac{16}{5}$$\sqrt{5}$；
④当CD=2BD时，如图③，过点D作DF⊥BC于F，
tanB=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
设DF=z，则BF=2z，BD=$\sqrt{5}$z，
∴CD=2$\sqrt{5}$z，CF=$\sqrt{19}$z．
∵BC=BF+CF，
∴8=2z+$\sqrt{19}$z．
解得z=$\frac{8\sqrt{19}-16}{15}$，
∴DF=$\frac{8\sqrt{19}-16}{15}$，
∴BD=$\frac{8\sqrt{95}-16\sqrt{5}}{15}$；
综上所述，BD=4或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$或$\frac{16}{5}$$\sqrt{5}$或$\frac{8\sqrt{95}-16\sqrt{5}}{15}$．

点评 此题属于相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意理解新定义，利用分类讨论思想与方程思想求解是关键．