Question

8．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由两直线图象均过点A，可得出直线OA和直线l的表达式，设出D点坐标（m，n）．以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形分成两种情况，①以线段AB为对角线，此时利用平行四边形对角线互相平分的性质即可得出结论；②以线段AB为边，又要分CD在AB上或下方考虑，由平行四边形的性质，对比相等可得出结论．

解答 解：假设存在，设D点坐标为（m，n），直线OA解析式为y=kx．
∵点A（2，1）在直线OA上，
∴1=2k，解得：k=$\frac{1}{2}$．
即直线OA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x．
∵D点在直线OA上，
∴D点坐标为（m，$\frac{1}{2}$m）．
∵点A（2，1）在直线l上，
∴1=4+b，解得：b=-3．
使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①以线段AB为对角线，如图1，令线段AB的中点为M．

∵点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），
∴点M的坐标是（$\frac{7}{2}$，1）．
∵四边形ACBD为平行四边形，点D坐标为（m，$\frac{1}{2}$m），
∴点C坐标为（7-m，2-$\frac{1}{2}$m）．
又∵点C在直线l上，
∴有2-$\frac{1}{2}$m=2×（7-m）-3，解得：m=6．
此时D点坐标为（6，3）．
②以线段AB为边，当C、D均在直线AB上方时，如图2．

此时点C的坐标为（m-3，$\frac{1}{2}$m）．
∵点C在直线l上，
∴有$\frac{1}{2}$m=2×（m-3）-3，解得：m=6．
此时D点的坐标为（6，3）．
当C、D均在直线AB下方时，如图3．

此时点C的坐标为（m+3，$\frac{1}{2}$m）．
∵点C在直线l上，
∴有$\frac{1}{2}$m=2×（m+3）-3，解得：m=-2．
此时D点的坐标为（-2，-1）．
综上可知：存在使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形的D点，点D的坐标为（6，3）和（-2，-1）．

点评 本题考查了一次函数综合应用中的由点在直线求直线表达式以及平行四边形的性质，解题的关键是依据平行四边形的性质①对角线互相平分；②对边相等来解决问题．本题难度不大，失分点是同学们往往忘记在考虑以线段AB为边时还存在两种情况，从而少的出一种结论．