Question

6．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上一点，连AM，作MN⊥AM，且MN=AM，连接AN交BC于E，连接ME．
（1）求证：MN平分∠CME；
（2）若AB=4，CE=3，求CM的长．

Answer 1

分析 （1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，作AK⊥ME，先证明△AMH≌△AME得AB=AK（全等三角形对应边上的高相等），所以∠AMB=∠AMK，再利用等角的余角相等证明MN平分∠CME即可．
（2）先证明：EM=BM+DE，在RT△EMC中利用勾股定理解决即可．

解答 解：如图所示，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，作AK⊥ME，
∵MA=MN，∠AMN=90°，
∴∠MAN=∠MNA=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠MAB+∠DAE=45°，
∵∠DAE=∠HAB，
∴∠HAB+∠BAM=45°=∠MAE，
在△AMH和△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{∠MAH=∠MAE}\\{AH=AE}\end{array}\right.$，
∴△AMH≌△AME，
∴ME=MH=BM+BH=BM+DE，AB=AK（全等三角形对应边上的高相等），
∵AB⊥BM，AK⊥EM
∴∠AMB=∠AMK，
∵∠AMB+∠NMC=90°，∠AMK+∠EMN=90°，
∴∠EMN=∠NMC，
∴MN平分∠CME．
（2）由（1）可知：ME=BM+DE，设CM=x，则BM=4-x，ME=1+（4-x）=5-x，
在RT△EMC中，∵EM²=EC²+MC²，
∴（5-x）²=x²+3²，
∴x=$\frac{8}{5}$，
∴CM=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是利用旋转添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．