Question

6．如图，已知△ABC中，AB=AC，tanB=2，AD⊥BC于点D，G是△ABC的重心，将△ABC绕着重心G旋转，得到△A₁B₁C₁，并且点B₁在直线AD上，联结CC₁，那么tanCC₁B₁的值等于$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$或$\frac{\sqrt{13}+2}{3}$．

Answer 1

分析 分类讨论：当△ABC绕着重心G逆时针旋转得到△A₁B₁C₁，如图1，设GD=x，根据等腰三角形的性质得BD=CD，再根据重心的性质得AG=2GD=2x，则AD=AG+DG=3x，在Rt△ABD中，利用正切定义得到BD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$x，则CD=$\frac{3}{2}$x，接着根据勾股定理计算出CG=$\frac{\sqrt{13}}{2}$x，然后利用旋转的性质得到∠BGD=∠DGD₁，GD=GD₁=x，C₁D₁=CD=$\frac{3}{2}$x，由于而GD⊥BC，所以GD₁⊥B₁C₁，点D₁在CG上，于是可得CD₁=CG-GD₁=$\frac{\sqrt{13}-2}{2}$x，则在Rt△CC₁D₁中，利用正切的定义得到tan∠CC₁D₁=$\frac{C{D}_{1}}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$；当△ABC绕着重心G顺时针旋转得到△A₁B₁C₁，如图2，设DG=x，与前面一样，可求得GD₁=GD=x，C₁D₁=CD=$\frac{3}{2}$x，则CD₁=$\frac{\sqrt{13}+2}{2}$x，
在Rt△CC₁D₁中，利用正切定理得到tan∠CC₁D₁=$\frac{C{D}_{1}}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{13}+2}{3}$．

解答 解：当△ABC绕着重心G逆时针旋转得到△A₁B₁C₁，如图1，设GD=x，
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴BD=CD，
∴重心G在AD上，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD=2x，
∴AD=AG+DG=3x，
在Rt△ABD中，∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$x，
∴CD=$\frac{3}{2}$x，
在Rt△CDG中，CG=$\sqrt{D{G}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$x，
∵△ABC绕着重心G旋转，得到△A₁B₁C₁，并且点B₁在直线AD上，
∴∠BGD=∠DGD₁，GD=GD₁=x，C₁D₁=CD=$\frac{3}{2}$x，
而GD⊥BC，
∴GD₁⊥B₁C₁，点D₁在CG上，
∴CD₁=CG-GD₁=$\frac{\sqrt{13}}{2}$x-x=$\frac{\sqrt{13}-2}{2}$x，
在Rt△CC₁D₁中，tan∠CC₁D₁=$\frac{C{D}_{1}}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}-2}{2}x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$；
当△ABC绕着重心G顺时针旋转得到△A₁B₁C₁，如图2，设DG=x，
与前面一样，可求得GD₁=GD=x，C₁D₁=CD=$\frac{3}{2}$x，则CD₁=$\frac{\sqrt{13}}{2}$x+x=$\frac{\sqrt{13}+2}{2}$x，
在Rt△CC₁D₁中，tan∠CC₁D₁=$\frac{C{D}_{1}}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}+2}{2}x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{\sqrt{13}+2}{3}$，
综上所述，tanCC₁B₁的值等于$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$或$\frac{\sqrt{13}+2}{3}$．
故答案为$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$或$\frac{\sqrt{13}+2}{3}$．

点评 本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了等腰三角形的性质、旋转的性质解直角三角形．