Question

10．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上（EE′⊥AB），当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是2$\sqrt{3}$≤CD＜4．

Answer 1

分析 由题意可知：当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时则被折的圆弧与直径AB相切时折痕CD的长度最短，当CD和直径重合时，折痕CD最长，由此即可折痕CD的长度取值范围．

解答 解：当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时则被折的圆弧与直径AB相切时折痕CD的长度最短，如图所示：
连接OD，
∵EH=OH=$\frac{1}{2}$OE=1，OD=2，
∴DH=$\sqrt{O{D}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵OH⊥DC，
∴DH=CH，
∴CD=2DH=2$\sqrt{3}$，
当CD和直径AB重合时，折痕CD最长，所以CD=4，
又因为要保证被折的圆弧与直径AB至少有一个交点，所以CD不能取到4，即CD＜4，
综上可知2$\sqrt{3}$≤CD＜4，
故答案为：2$\sqrt{3}$≤CD＜4．

点评 本题考查了和圆有关的综合题，用到的知识点有：垂径定理、勾股定理，切线的性质定理以及折叠的性质，解题的关键是找到CD最短和最长时的位置．