Question

2．如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE垂直DB于点E，点O在AB上，圆O是△BDE的外接圆，交BC于点F，连接EF，求EF：AC的值．

Answer 1

分析 连接OD，先根据勾股定理求出AB的长，再由角平分线的性质得出∠ODB=∠DBC，故OD∥BC．△AOD∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例得出r的值，再由圆周角定理得出∠BFE=90°，故EF∥AC，△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．

解答 解：连接OD，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{{12}^{2}+{9}^{2}}$=15．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BC．
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{r}{9}$=$\frac{15-r}{15}$，解得r=$\frac{45}{8}$，BE=$\frac{45}{4}$．
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BFE=90°，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{45}{4}}{15}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．