Question

17．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，A、D在半圆O上，B、C在半圆O的直径MN上，另一个矩形BFEG紧靠着矩形ABCD，F在AB上，E在半圆O上，G在直径MN上，且GE=2BG=4，则矩形ABCD的面积为（　　）

• A． $\frac{25}{2}$
• B． 12
• C． 15
• D． $\frac{27}{2}$

Answer 1

分析 连接OA，OE，根据矩形ABCD中，AB=2AD可知点O是BC的中点，设OB=x，⊙O的半径为r，则AB=4x，根据勾股定理列出x，r的关系式，同理，在Rt△OEG中列出关于x，r的关系式，两式联立求出x的值，进而可得出结论．

解答 解：连接OA，OE，
∵矩形ABCD中，AB=2AD，
∴点O是BC的中点，
设OB=x，⊙O的半径为r，则AB=4x，
∵AB²+OB²=OA²，即（4x）²+x²=r²①．
∵GE=2BG=4，
∴BG=2．
在Rt△OEG中，
∵EG²+OG²=OE²，即4²+（2+x）²=r²②，
①②联立得，x=$\frac{5}{4}$，
∴BC=2x=$\frac{5}{2}$，AB=4x=5，
∴矩形ABCD的面积=$\frac{5}{2}$×5=$\frac{25}{2}$．
故选A．

点评 本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．