Question

【题目】已知二次函数y=x2﹣2x﹣3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2 ． 设d=d1+d2 ， 下列结论中：
①d没有最大值；
②d没有最小值；
③﹣1＜x＜3时，d随x的增大而增大；
④满足d=5的点P有四个．
其中正确结论的个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令二次函数y=x2﹣2x﹣3中y=0，即x2﹣2x﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3．
（i）当x≤﹣1时，d1=x2﹣2x﹣3，d2=﹣x，
d=d1+d2=x2﹣3x﹣3= ，
d≥1；
（ii）当﹣1＜x≤0时，d1=﹣x2+2x+3，d2=﹣x，
d=﹣x2+x+3=﹣ ，
1＜x≤3；
（iii）当0＜x≤3时，d1=﹣x2+2x+3，d2=x，
d=﹣x2+3x+3=﹣ + ，
3≤x≤ ；
（iv）当3＜x时，d1=x2﹣2x﹣3，d2=x，
d=d1+d2=x2﹣x﹣3= ，
3＜d．
综上可知：d有最小值，没有最大值，即①成立，②不成了；
当0＜x≤ 时，d单调递增， ＜x≤3时，d单调递减，
∴﹣1＜x＜3时，d随x的增大而增大，此结论不成了；
令d=5，（i）中存在一个解；（ii）中无解；（iii）中有两个解；（iv）中一个解．
∴满足d=5的点P有四个，该结论成立．
∴正确的结论有2个．
故选B．
找出二次函数与x轴的交点，结合点P所在的象限分段考虑，再根据二次函数的性质找出其最值以及在各段区间内的单调性，对比4个结论即可得知正确的结论有两个．