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【题目】如图1,在矩形中,BC=3,动点出发,以每秒1个单位的速度,沿射线方向移动,作关于直线的对称,设点的运动时间为

1)若

①如图2,当点B’落在AC上时,显然PCB’是直角三角形,求此时t的值

②是否存在异于图2的时刻,使得PCB’是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的t的值?若不存在,请说明理由

2)当P点不与C点重合时,若直线PB’与直线CD相交于点M,且当t3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立,试探究:对于t3的任意时刻,结论∠PAM=45°是否总是成立?请说明理由.

【答案】1)①;②t=2t=6t=22)见解析.

【解析】

(1)①先利用勾股定理求出AC长,再根据△APB≌△APB′,继而根据全等三角形的性质推导得出∠B=∠PB′C=90°BC= ,再证明,根据相似三角形的性质求出PB=2-4,由此即可求得答案;

根据题意分三种情况,分别画出图形,结合图形分别讨论求解即可;

(2)如图,根据∠PAM=45°以及翻折的性质可以证明得到△DAM≌△B′AM,从而可得AD=AB′=AB,证得四边形ABCD是正方形,继而根据题意画出图形,根据翻折的性质以及全等三角形的知识进行推导即可求得答案.

(1)①∵四边形ABCD是矩形,

∴∠B=90°

AC=

∵△APB≌△APB′

∴∠AB′P=∠B=90°AB′=AB=2BP=BP

∠B=∠PB′C=90°BC=AC-AB′=

又∵∠PCB′=∠ACB

PB=2-4

PB=2-4

t=2-4

如图,当∠PCB′=90 °时,此时点B′落在BC上,

RtAB′D中,∠D=90°∴B′D=

∴B′C=

△PCB′中,由勾股定理得:

解得t=2

如图,当∠PCB=90 °时,此时点B′CD的延长线上,

RtAB′D中,∠ADB′=90°∴B′D=

∴B′C=3

△PCB′中,由勾股定理得:,解得t=6

∠CPB′=90 °时,易得四边形ABPB′为正方形,

∴BP=AB=2

解得t=2

综上,t=2t=6t=2

(2)如图

∵∠PAM=45°

∴∠2+∠3=45°∠1+∠4=45°

翻折,

∴∠1=∠2∠3=∠4

∵∠ADM=∠AB′M=90°AM=AM

∴△DAM≌△B′AM

∴AD=AB′=AB

∴四边形ABCD是正方形,

如图,

∠APB=x

∴∠PAB=90°-x

∴∠DAP=x

AD=AB′AM=AM,∠ADM=AB′M=90°

Rt△MDA≌Rt△B′AM(HL)

∴∠B′AM=∠DAM

翻折,

∴∠PAB=∠PAB′=90°-x

∴∠DAB′=∠PAB′-∠DAP=90°-2x

∴∠DAM=∠DAB′=45°-x

∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°.

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1)将条形统计图补充完整.

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1)求证:ABD≌△ACE

(深入研究)

如图③,,,

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(拓展延伸)

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