Question

【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90°, ②OC=OE， ③tan∠OCD =，④中，正确的有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．

∵AE=BF=1，∴BE=CF=4－1=3．

在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△EBC≌△FCD（SAS）．

∴∠CFD=∠BEC．∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°．

∴∠DOC=90°．故①正确．

如图，连接DE

若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE．

∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误．

∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC．

∴tan∠OCD=tan∠DFC=．故③正确．

∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD．

∴S△EBC－S△FOC=S△FCD－S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故④正确．故选C．