【题目】如图,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0),交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一点,过点P作于点H,求线段PH长度的最大值.
(3)Q为抛物线上的一个动点(不与点A、B、C重合),轴于点M,是否存在点Q,使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)或或
【解析】
(1)根据待定系数法解答即可;
(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AC 于点 E,如图1,设点P的横坐标为t,则PE可用含t的代数式表示,易证△PEH∽△ACO,可得,于是PH可用含t的代数式表示,然后根据二次函数的性质即可求出PH长度的最大值;
(3)设Q点的横坐标为m,则Q点的纵坐标可用m的代数式表示,分三种情况:当1<m<4时,如图2;当m>4时,如图3;当m<1时,如图4,根据相似三角形的性质分与两种情况,建立关于m的方程求解即可.
解:(1)将 A(4,0)、B(1,0)代入,
得:,解得,
∴抛物线的解析式为;
(2)将代入,得,∴.
设直线 AC 的解析式为,
将 A(4,0)代入,解得:,
∴直线 AC 的解析式为.
过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AC 于点 E,如图1,
设 ,则.
∴.
∵∠PEH=∠ACO,∠PHE=∠AOC=90°,
∴△PEH∽△ACO,
∴,
∴.
∴当时,PH 有最大值;
(3)存在,点或或.
理由如下:
设Q点的横坐标为m,则Q点的纵坐标为﹣m2+m﹣2,
当1<m<4时,如图2,AM=4﹣m,QM=﹣m2+m﹣2,
又∵∠COA=∠QMA=90°,
∴①当时,△AQM∽△ACO,即4﹣m=2(﹣m2+m﹣2),
解得:m=2或m=4(舍去),
此时Q(2,1);
②当时,△AQM∽△CAO,即2(4﹣m)=﹣m2+m﹣2,
解得:m=4或m=5(均不合题意,舍去);
当m>4时,如图3,AM=m-4,QM=m2-m+2,
又∵∠COA=∠QMA=90°,
∴①当时,△AQM∽△ACO,即m-4=2(m2-m+2),
解得:m=2或m=4(均不合题意,舍去);
②当时,△AQM∽△CAO,即2(m-4)=m2-m+2,
解得:m=5或m=4(不合题意,舍去);
∴Q(5,﹣2);
当m<1时,如图4,AM=4-m,QM=m2-m+2,
又∵∠COA=∠QMA=90°,
①当时,△AQM∽△ACO,即4﹣m=2(m2-m+2),
解得:m=0或m=4(均不合题意,舍去);
②当时,△AQM∽△CAO,即2(4﹣m)=m2-m+2,
解得:m=﹣3或m=4(不合题意,舍去);
∴Q(﹣3,﹣14);
综上所述,符合条件的点Q为(2,1)或(5,﹣2)或(﹣3,﹣14).
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【题目】2012年6月5日是“世界环境日”,南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛,赛后整理参赛同学的成绩,制作成直方图(如图).
(1)分数段在______范围的人数最多;
(2)全校共有________人参加比赛;
(3)学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛,并为参赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子.请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果,并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率.
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【题目】如图1,在矩形中,BC=3,动点从出发,以每秒1个单位的速度,沿射线方向移动,作关于直线的对称,设点的运动时间为
(1)若
①如图2,当点B’落在AC上时,显然△PCB’是直角三角形,求此时t的值
②是否存在异于图2的时刻,使得△PCB’是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的t的值?若不存在,请说明理由
(2)当P点不与C点重合时,若直线PB’与直线CD相交于点M,且当t<3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立,试探究:对于t>3的任意时刻,结论∠PAM=45°是否总是成立?请说明理由.
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【题目】如图,反比例函数y=(x>0)的图象与直线y=mx交于点C,直线l:y=4分别交两函数图象于点A(1,4)和点B,过点B作BD⊥l交反比例函数图象于点 D.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当BD=2AB时,求点B的坐标;
(3)在(2)的条件下,直接写出不等式>mx的解集.
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【题目】某学校为了解九年级的600名学生每天的自主学习情况,随机抽查了九年级的部分学生,并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果,制作了两副不完整的统计图(图1图2),请根据统计图中的信息回答下列问题:
(1)本次调查的学生人数是 人;
(2)图2中角是 度;
(3)将图1条形统计图补充完整;
(4)估算该校九年级学生自主学习不少于1.5小时有多少人.
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【题目】将两个等腰Rt△ADE,Rt△ABC(其中∠DAE=∠ABC=90°,AB=BC,AD=AE)如图放置在一起,点E在AB上,AC与DE交于点H,连接BH、CE,且∠BCE=15°,下列结论:①AC垂直平分DE;②△CDE为等边三角形;③tan∠BCD=;④,其中正确的结论是____________ (填写所有正确结论的序号)
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【题目】下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差.根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛,应该选择__________(填“甲”, “乙”, “丙”, “丁”).
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均数(分) | 92 | 95 | 95 | 92 |
方差 | 3.6 | 3.6 | 7.4 | 8.1 |
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【题目】如图,E为圆O上的一点,C为劣弧EB的中点.CD切于点C,交的直径AB的延长线于点D.延长线段AE和线段BC,使之交于点F.
(1)求证:和都是等腰三角形;
(3)若,,求EF的长.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,,,AB和CD之间的距离是8,动点P在线段AB上从点A出发沿AB方向以每秒2个单位的速度匀速运动;动点Q在线段BC上从点B出发沿BC的方向以每秒1个单位的速度匀速运动,过点P作,交线段AD于点E,若两点同时出发,设运动时间为秒,.
(1)当为何值时,BE平分?
(2)连接PQ,CE,设四边形PECQ的面积为S,求出S与的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使得?若存在,请直接给出此时的值(不必写说理过程);若不存在,请说明理由.
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