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【题目】如图,抛物线经过点A(40)、B(10),交y轴于点C

1)求抛物线的解析式.

2)点P是直线AC上方的抛物线上一点,过点P于点H,求线段PH长度的最大值.

3Q为抛物线上的一个动点(不与点ABC重合),轴于点M,是否存在点Q,使得以点AQM三点为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)根据待定系数法解答即可;

2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式,过点 P x 轴的垂线,交直线 AC 于点 E,如图1,设点P的横坐标为t,则PE可用含t的代数式表示,易证△PEH∽△ACO,可得,于是PH可用含t的代数式表示,然后根据二次函数的性质即可求出PH长度的最大值;

3)设Q点的横坐标为m,则Q点的纵坐标可用m的代数式表示,分三种情况:当1m4时,如图2;当m4时,如图3;当m1时,如图4,根据相似三角形的性质分两种情况,建立关于m的方程求解即可.

解:(1)将 A40)、B10)代入

得:,解得

∴抛物线的解析式为

2)将代入,得,∴

设直线 AC 的解析式为

A40)代入,解得:

∴直线 AC 的解析式为

过点 P x 轴的垂线,交直线 AC 于点 E,如图1

,则

∵∠PEH=ACO,∠PHE=AOC=90°

∴△PEH∽△ACO

∴当时,PH 有最大值

3)存在,点

理由如下:

Q点的横坐标为m,则Q点的纵坐标为﹣m2+m2

1m4时,如图2AM4mQM=﹣m2+m2

又∵∠COA=∠QMA90°,

∴①当时,△AQM∽△ACO,即4m2(﹣m2+m2),

解得:m2m4(舍去),

此时Q21);

②当时,△AQM∽△CAO,即24m)=﹣m2+m2

解得:m4m5(均不合题意,舍去);

m4时,如图3AMm4QMm2m+2

又∵∠COA=∠QMA90°,

∴①当时,△AQM∽△ACO,即m42m2m+2),

解得:m2m4(均不合题意,舍去);

②当时,△AQM∽△CAO,即2m4)=m2m+2

解得:m5m4(不合题意,舍去);

Q5,﹣2);

m1时,如图4AM4mQMm2m+2

又∵∠COA=∠QMA90°,

①当时,△AQM∽△ACO,即4m2m2m+2),

解得:m0m4(均不合题意,舍去);

②当时,△AQM∽△CAO,即24m)=m2m+2

解得:m=﹣3m4(不合题意,舍去);

Q(﹣3,﹣14);

综上所述,符合条件的点Q为(21)或(5,﹣2)或(﹣3,﹣14).

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